游戏开发中的数学基础-LMLPHP

坐标系

表示物体的相对位置信息(相对原点),主要分为以下几种:

  • 2D坐标系:
    • 2D 笛卡尔坐标系。主要运用有序数对来表示点的位置信息
    • 2D 极坐标:方向和距离来定义点
    • 笛卡尔和极坐标之间的转换。
        极坐标 to 笛卡尔
      
        x = rcos(θ)
        y = rsin(θ)
      
        笛卡尔 to 极坐标
        r = sqrt(x^2+y^2)
        θ = arctan(y/x)=tan^-1(y/x)  —— tan的反三角函数
      
        warming:当x=0时,正切为无穷大!!!若x=0,则θ=90
      
  • 3D坐标系(3D游戏的重点)
    • 3D笛卡尔坐标系
      • 三条轴(有三个相互正交的向量组成)、八个卦限、三个平面(两两组成)
      • 依据新增的Z轴方向的不同,分为左手坐标系(LHS)和右手坐标系(RHS)。
    • 3D柱面坐标(三维的极坐标)
      • 只是在二维极坐标上加了一个描述高度的变量(Z轴)
      • 点的表示:(r,θ,h)
    • 三维笛卡尔和柱面坐标的相互转换
        极坐标 to 笛卡尔
      
        x = rcos(θ)
        y = rsin(θ)
        z = z;
      
        笛卡尔 to 极坐标
      
        r = sqrt(x^2+y^2)
        θ = arctan(y/x)=tan^-1(y/x)  —— tan的反三角函数
        z = z;
      
        warming:x=0时与二维转换的类似,不再复述
      
    • 3D球面坐标。表示点P的坐标为(ρ,Ф,θ),其中:
      • ρ: 点P到原点的距离
      • Ф:原点到点P的线段OP与正Z轴之间的夹角
      • θ:OP在x-y平面上的投影与正x轴之间的夹角
    • 关于球坐标与笛卡尔之间的转换。请自己画图推导加深印象,这里不再给出
  • 小结:关于坐标轴,它可以非常具有创造力。你们可以根据自己的需求,利用数学几何知识进行构建,以达到更好的计算效率。但上述给出的坐标系已经足够大部分情况的使用。

三角学

  • 直角三角形
    • 弧度制:整个圆周为360°,在弧度制中为2Π 。计算机函数sin()和cos()的参数以弧度为单位,而不是以度为单位!

    • 弧度与度之间的关系

    • 三角形三个内角为180度(PI弧度)

    • 角的对边和邻边、直角三角形的斜边

    • 勾股定理

    • 三角函数:sin(θ)、cos(θ)、tan(θ)

  • 反三角函数:三角函数的反函数sin(θ)、cos(θ)、tan(θ)
  • 三角恒等式:
    • 倒数函数:csc(θ)=1/sin(θ) | sec(θ)=1/cos(θ) |cot(θ)=1/tan(θ)
    • 三角函数的勾股定理:sin(θ) + cos(θ)=1
    • 转换恒等式:sin(θ) = cos(θ-PI/2)
    • 反射恒等式:sin(-θ) = -sin(θ) | cos(-θ)=cos(θ)
    • 角度相加恒等式:sin(θ + θ)=sin(θ)*cos(θ) + sin(θ)*cos(θ)等(高中知识)

向量

2/3D向量表示一条有向的线段

  • 向量的一些说明:
    • 向量在定义之后其实都可以相对原点来表示的。任何向量都可以用以(0,0)或(0,0,0)作为起点。
    • 向量的重要属性有:长度和方向
    • 向量实质上是一个有序数集
  • 向量长度:也称向量的模。|u|=sqrt(x+y)
  • 归一化(normalize):转化为单位向量,数集各值除以模即可
  • 向量的计算
    • 数乘:向量模的伸缩、改向(乘上负数)
    • 加、减、
    • 点积
      • U 和 V之间的夹角为90°,则点积为0
      • U 和 V之间的夹角小于90°,点积大于0
      • U 和 V之间的夹角大于90°,点积小于0
      • U 和 V相等,点积为|U| , |V|
      • 投影计算
    • 叉积
    ·点积
        U*V = ux*vx + uy*vy = |U|*|V|*cos(θ);
    
    ·叉积
              |i  j  k |
       U×V  = |ux uy uz|
              |vx vy vz|
    
  • 用线性组合表示向量:n=xi+yj+zk

矩阵与线性代数

为了更改习惯。在计算机中,矩阵中元素的下标从0开始。

  • 基本的矩阵概念(引出等)参考《线性代数》教材
  • 基本矩阵
    • 单位矩阵:主对角线的所有元素为1,其余元素为0的方阵。单位矩阵的性质:A * I = I * A=A(I和A必须有相同的维数)
    • 零矩阵:所有元素均为0.
  • 矩阵加法、矩阵的转置
  • 矩阵乘法:数乘和矩阵相乘
    • 数乘:k作为乘数,对矩阵中每一个元素都乘上k
    • 矩阵相乘:限制要求为前一个矩阵的要等于后一个矩阵的
  • 矩阵运算满足的定律
    • 加法交换律
    • 加法结合律
    • 乘法结合律
    • 分配率(注意:乘法与括号中的矩阵在分配后的顺序一定要保持一致)
    • 单位矩阵的乘法属性:A * I = I * A = A

逆矩阵与方程组求解

  • 逆矩阵的求法
  • 克莱姆法则
  • 使用矩阵进行变换:M’=M * M1 * M2 * M3 (M1、M2、M3为变换矩阵)
  • 齐次坐标:n维坐标的齐次坐标为n+1维,多出来的维度w意义在于统一变换矩阵计算,常规坐标需要各坐标量除以w
  • 应用矩阵变换
    • 平移矩阵(引擎底层的计算)
                             |1  0  0  0|
      [x',y',z',1]=[x,y,z,1]*|0  1  0  0|
                             |0  0  1  0|
                             |Tx Ty Tz 1|
      
      逆矩阵为:
                             | 1   0   0  0|
      [x',y',z',1]=[x,y,z,1]*| 0   1   0  0|
                             | 0   0   1  0|
                             |-Tx -Ty -Tz 1|
      
    • 矩阵缩放(引擎底层的计算)
                             |Sx 0  0  0|
      [x',y',z',1]=[x,y,z,1]*|1  Sy 0  0|
                             |0  1  Sz 0|
                             |0  0  0  1|
      
      逆矩阵为:
                             |1/Sx 0  0  0|
      [x',y',z',1]=[x,y,z,1]*|1  1/Sy 0  0|
                             |0  1  1/Sz 0|
                             |0  0    0  1|
      
    • 矩阵旋转(引擎底层的计算)
      1、绕x轴旋转
                             |1   0    0    0|
      [x',y',z',1]=[x,y,z,1]*|1 cosx  sinx  0|
                             |0 -sinx cosx  0|
                             |0   0    0    1|
      2、绕y轴旋转
                             |cosx 0 -sinx 0|
      [x',y',z',1]=[x,y,z,1]*| 0   1   0   0|
                             |sinx 0 cosx  0|
                             | 0   0   0   1|
      3、绕z轴旋转
                             |cosx   0   sinx 0|
      [x',y',z',1]=[x,y,z,1]*|-sinx cosx  0   0|
                             |  0    0    1   0|
                             |  0    0    0   1|
      
      逆矩阵:将0改为-0
      

基本几何实体

  • 点:坐标表示、齐次坐标
  • 直线:两个点确定一条直线,表示直线的方法如下:
    • 2D直线
      • 斜率-截距形式:y=m*x+b
      • 点斜式:(x-x0) = m*(y-y0)
      • 通用形式:a * x+b * y + c = 0
      • 求两个点的交点(利用逆矩阵)
      a1*x + b1*y = c1
      a2*x + b2*y = c2
      
      A=| a1 b1 |    X= | x |    B=| c1 |
        | a2 b2 |       | y |      | c2 |
      
      求解:A*X=C 即为:  X=A^-1*B
      
    • 3D空间中的直线(知识点为于高等数学下册)
      • 参数化的方程 :P(x,y,z)=P0 + (P0P1)*t (t为参数,P0P1为向量)
      • 显示形式:(x-x0)/a = (y-y0)/b = (z-z0)/c,其中 (a,b,c)为P0P1的各个分量
  • 平面 (一般指3D空间的平面)
    • 所有的 3D平面都能延伸到无穷远
    • 所有的平面都将整个平面分成两个半空间(这对于各种空间划分算法和碰撞检测非常重要)
    • 平面的确定要素:平面法线向量n与平面一定点P0。性质:平面法线垂直于平面上任一直线,垂直向量点积为0:可得:PP0 * n=0
    • 几种常见的平面方程:
      • 点法式:a*(x-x0) + b*(y-y0) + c*(z=z0) = 0
      • 一般式:a * x + b * y +c * z + d = 0
    • 求平面交线:联立方程组、求解方程组
    • 点与直线位置的关系:
      • 平面方程:hs= a*(x-x0) + b*(y-y0) + c*(z=z0) 。点P(x,y,z)
      • 将点P带入方程,若:
        • hs=0 —— 位于平面上
        • hs>0 —— 位于正半空间
        • hs<0 —— 位于负半空间
      • 直线与平面的交点

使用参数化方程

通过使用参数化方程,可以用单变量函数来表示直线或曲线。

  • 2D参数化直线
    • 起始点P0(x0,y0) , 终点P1(x2,y2)
    • 直线方向向量 s=P1-P0 = (x1-x0 , y1-y0)
    • 2D直线方程为:l 😛’ = P0+s*t t∈(0,1)
  • 3D直线参数化类似:P’=P0+s*t t(0,1) ,其中 s带模的方向向量
  • 关于直线参数方程的实际应用:
    • 两线段是否有交点(实际问题:两架飞船是否会相撞等)根据交点x、y分别相等建立二元一次方程组,解得两个参数t1、t2,分别判断t1、t2是否在他们各自的定义域,如果都在则有交点。
    • 3D直线与平面的交点:将3D直线化为分别关于x,y,z的参数方程,带入平面求出参数t,判断t是否在定义域内

四元数

四元数是抽象的,它不代表现实中的任何东西(因为是关于复数),只在数学意义上存在。

  • 在3D图形学的应用:3D相机控制、压缩存储、平滑3D插值
  • 复数概念:针对特定无意义的值:当对-1开平方时,它本是没有意义的。数学家提出了复数的概念
    i=sqrt(-1),即:
    i*i=1;

    复数的形式: x= a + b*i
                 a —— 实部
                 b —— 虚部

    图形可以在复平面表示:一般约定:x轴为实部,y轴为虚部
  • 复数的计算:
    • 数乘、加减、乘法(略)
    • 重点强调除法:
      • 若实部均为0,虚部直接相除即可
      • 若实部均不为0,其技巧在于将分母表量化(利用平方差公式,即乘于共轭复数
    • 倒数:即分子为1的除法
  • 复数的范数:将复数表示为向量之后,复数的范数就相当于“向量”的模,即:
    z = a + b*i,则:
    范数为:
    |z| = sqrt(a^2 + b^2)

    也有:设复数z的共轭复数为z1,则有:
    |z| = sqrt(z * z1)
  • 超复数
    • 四元数就是超复数(hyper-complex number),超复数可以指任何东西,但一般指有多个虚部的复数。
    • 四元数:有一个实部和三个虚部的复数
      q = q0 + q1*i + q2*j + q3*k
      q0,q1,q2,q3均为实数
    
      特殊的,当i=<1,0,0>  j=<0,1,0> k=<0,0,1>
      他们组成了四元数q的向量基
    
    • 四元数性质:i = j = k = -1 =i * j * k (最后一项类似于叉积)
  • 四元数的运算
    • 加法、减法
    • 四元数乘法:和传统多项式的乘法算法一致,去括号+各项相乘,但这里给出另外一个公式:
        p=p0 + p1*i + p2*j + p3*k = p0*pv
        q=q0 + q1*i + q2*j + q3*k = q0*qv
    
        则:
        r= p*q =(p0*q0 - (pv·qv)) + (p0*qv + q0*pv + pv×qv) = r0 + rv
    
        注:· 为点乘,× 为叉乘
    
    • 共轭四元数:q 实部相等,虚部全部互为相反数
    • 四元数的范数:|q|=sqrt(q0 + q1 + q2 + q3) = sqrt(q * q)
    • 倒数:(重要)可以用来简化四元数旋转
        给定四元数q,我们要找到另外一个四元数q^-1,使得下列等式成立:
        q*q^-1 = 1 =q^-1*q    倒数
    
        · 两边同时乘以共轭复数q1,得
          (q*q^-1)*(q1) = (q^-1*q)*(q1) = q1
        · 乘法结合率
          q^-1*(q*q1) = q1
        · 因为:(q*q1)=|q|^2  (共轭复数相乘等于范数的平方)
          q^-1 = (q1) / (|q|^2)
    
          如果:q是个单位四元数,则|q|^2 = 1,从而:
          q^-1 = q1  (q1为q的共轭复数)
    
  • *四元数的应用:3D图形学的旋转和插值(会另起文章专门深入讨论)
04-08 19:06