Qt绘制椭圆曲线的角度问题（离心角和旋转角）

最近有网友遇到一个问题，使用 QPainter::drawPie 或者 QPainter::drawArc 绘制同中心的圆和椭圆，指定同一起始点和角度，两条弧线的起点与圆心的连线不在同一直线上：

测试代码：

QPainter painter(this);
   painter.setRenderHint(QPainter::Antialiasing);
   painter.translate(100, 100);

   QRectF ellipseRect(0, 0, 300, 200);
   QRectF circle(0, 0, 200, 200);
   circle.moveCenter(ellipseRect.center());
// 绘制圆，红色
   painter.setPen(QPen(QColor(232, 63, 63, 128), 3.0));
   painter.drawPie(circle, 10 * 16, 70 * 16);
// 绘制椭圆，绿色
   painter.setPen(QPen(QColor(63, 232, 63, 128), 3.0));
   painter.drawPie(ellipseRect, 10 * 16, 70 * 16);

1. 原理

Qt绘制椭圆曲线，使用的是椭圆离心角，参数方程是：

即：在椭圆的外切圆和内切圆上，选择θ角度的两个点A，B，以A点x坐标和B点y坐标，确定椭圆上一个点M。

因此，当以∠θ绘制时，点A、B、M、圆心O，不在一条直线上。

而通常情况下，以上图为例，以∠φ为参数调用接口，期望从M点开始绘制。需要∠φ与∠θ的转换关系。

2. 离心角与旋转角的转换关系

这里我称∠φ为旋转角，两者之间的转换公式推导参考这篇文章，这里写个结论：
（这里的θ与φ与参考文章里的反过来的）

再利用反三角函数计算出θ或者φ，需要注意的是，反三角函数的返回值总是在[-π/2, π/2]，因此还需要进一步调整。

由上图可以推测出，∠φ和∠θ一定是在同一个象限内，因此两者的差不可能超过π/2；而且，∠θ在一、三象限时，tanθ的符号相同，所以可以通过θ′ = θ±kπ，使得θ′与φ间隔在π/2以内。

3. 转换代码

qreal convertToEccentricAngle(qreal a, qreal b, qreal angle)
{
	// *π和π/2使用宏即可*
    static qreal pi = qDegreesToRadians(180.0);
    static qreal half_pi = qDegreesToRadians(90.0);

    // 理论上两个角度差距不会很大，且落在同一象限
    // 反函数始终在第一象限和第四象限
    qreal ret = qAtan(a / b * qTan(angle));
    if(ret > angle)
    {
        ret -= int((ret - angle) / pi) * pi;
        if(ret - angle > half_pi)
            ret -= pi;
    }
    else
    {
        ret += int((angle - ret) / pi) * pi;
        if(angle - ret > half_pi)
            ret += pi;
    }
    return ret;
}

使用该函数将指定的弧度制角转换到对应的离心角，也可以自己补充角度制的转换。

效果如下：