方阵的施密特正交化与相似对角化

• 方阵的施密特正交化与相似对角化

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施密特正交化

施密特正交化步骤

example

略

相似对角化

相似对角化步骤

step1:

step2:

step3:

step4:

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example

• 注:特征值的个数与秩无关

A = {{-3, 6}, {-10, 6}};
Eigenvalues[A]
V = Eigenvectors[A];
P = {V[[1]], V[[2]]};
P = Transpose[P];
PI = Inverse[P];
N[Dot[Dot[PI, A], P], 2]

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{1/2 (3 + I Sqrt[159]), 1/2 (3 - I Sqrt[159])}

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{{1.50000000000000000000000000000000000000000000000000 + 
   6.30476010645924576561431291726655614986405456294770 I, 
  0.*10^-51 + 0.*10^-51 I}, {0.*10^-51 + 0.*10^-51 I, 
  1.50000000000000000000000000000000000000000000000000 - 
   6.30476010645924576561431291726655614986405456294770 I}}

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>>> 159**0.5*0.5
6.304760106459246

矩阵的相似与合同

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• 这两个性质没太多关系
• 两个实对称矩阵相似的充要条件是两个矩阵有相同的特征根
• 两个实对称矩阵合同的充要条件是两个矩阵特征根的正根个数和负根个数对应相等
• 两个相似的实对称矩阵合同