博迪投资学·投资组合：第六七章的模型总结

风险资产的占比问题

由于不同的人的风险厌恶水平不同，金融学领域提出了一个

\[U=E(r)-\frac{1}{2} A \sigma^{2}\]

U是效用值，A是投资者的风险厌恶系数。系数1/2只是一个约定俗成的数值。使用式(6-1)时，收益率必须采用小数形式而不是百分数。

由公式6-1可推导

\[E(r)=\frac{1}{2} A \sigma^{2}+U\]

单一风险资产与单一无风险资产的投资组合

我们对符号作以下规定：

• P：风险投资组合
• F：无风险资产
• C：整个投资组合
• \(r_P\)：风险组合P的收益率
• \(E(r_p)\)：风险组合P的期望收益
• \(\sigma_p\)：风险组合P的标准差
• \(r_f\)：无风险资产收益率
• \(r_c\)：整个投资组合的收益率

我们假定在投资者投资预算中给风险投资组合P的比例为y,剩余部分1-y分配给无风险资产F。

\[r_{c}=y\ r_{p}+(1-y) r_{f}\]

任何一个投资组合的基本收益率都是无风险资产收益率。另外，投资组合总期望获得风险溢价，希望获取这一溢价的投资者为风险厌恶的，如果没有风险溢价，他们不会愿意持有风险资产。

其中\(E(r_p)\)可由模型【6-1】计算

\[\begin{eqnarray}E\left(r_{c}\right) & = & y E\left(r_{p}\right)+(1-y) r_{f}\\ & = & r_{f}+y\left[E\left(r_{p}\right)-r_{f}\right]\end{eqnarray}\]

当把一个风险资产和一个无风险资产放到一个资产组合中，整个组合的标准差就是风险资产的
标准差乘以它在投资组合中的比例。

\[\sigma_c=y \ \sigma_p\]

我们对此进行整理可以得到等价公式：

\[y=\frac{\sigma_c}{\sigma_p}\]

在给定的y值下可以以风险资产标准差\(\sigma_p\)为横坐标、投资组合期望收益\(E(r_c)\)为横坐标绘制资本配置线。

这条直线被称为资本配置线(capital allocation line,CAL),表示对投资者而言所有可能的风险收益组合。资本配置线的斜率记为S,等于每增加一单位标准差整个投资组合增加的期望收益。因此，斜率也被称为报酬-波动性比率(reward-to-volatility ratio),或者夏普比率。

\[E\left(r_{c}\right)=r_{f}+y\left[E\left(r_{p}\right)-r_{f}\right]=r_{f}+\frac{\sigma_{c}}{\sigma_{p}}\left[E\left(r_{p}\right)-r_{f}\right]\]

因此，整个组合关于标准差\(\sigma_p\)的期望收益函数\(E(r_c)\)是一条直线，截距为\(r_f\)，斜率为夏普比率S

\[S=\frac{E\left(r_{p}\right)-r_{f}}{\sigma_{p}}\]

头寸：银行逐渐用头寸代指资金数量，来表示款项，然后这个词就一直沿用至今了。

风险资产最优配置比例

投资者试图通过选择风险资产的最优配置y使效用最大化。

\[\operatorname{Max} U=E\left(r_{c}\right)-\frac{1}{2} A \sigma_{c}^{2}=r_{f}+y\left[E\left(r_{P}\right)-r_{f}\right]-\frac{1}{2} A y^{2} \sigma_{P}^{2}\]

学过微积分的学生知道最大化问题是使一阶导数为零（关于y求导）。这样求解出风险厌恶者风险资产的最优头寸\(y^*\)如下

\[y^{*}=\frac{E\left(r_{p}\right)-r_{f}}{A \sigma_{P}^{2}}\]

这个解显示风险资产的最优头寸正如所预料的那样，与风险厌恶程度和风险水平（由方差表示)有关。

风险资产的内部比例问题

先提一下风险，系统性风险是市场的风险，是不可分散的风险；非系统性风险是不同公司所特有的风险，可以通过分散投资降低的风险，也就是我们常说的不要把鸡蛋放在一个篮子里面。20只股票可以基本消散非系统性风险。

两个风险资产的组合

两个风险资产构成的组合相对容易分析，其原理也可应用于多个资产组合。所以我们讨论两个资产（一个专门投资长期债券的基金D,一个专门投资股票的基金E)构成的资产配置。表7-1列出了这两个基金的收益分布）

投资于债券基金的比例定义为\(w_D\)，剩余的\(1-w_D\)定义为\(w_E\)，投资于股票基金，\(r_D\)和\(r_E\)分别是债券基金和股票基金的收益率，这个组合的收益率为\(r_p\)

\[r_{p}=w_{D} r_{D}+w_{E} r_{E}\]

组合的期望收益是两种证券期望收益的加权平均值，权重分别为其投资的比例

期望收益不受资产

相关性影响

\[E\left(r_{p}\right)=w_{D} E\left(r_{D}\right)+w_{E} E\left(r_{E}\right)\]

由两个风险资产构建的投资组合风险度量模型

\[\sigma_{p}^{2}=w_{D}^{2} \sigma_{D}^{2}+w_{E}^{2} \sigma_{E}^{2}+2 w_{D} w_{E} \operatorname{Cov}\left(r_{D}, r_{E}\right)\]

可以看出组合的方差并不像期望收益率，并不是两个基金方差的加权平均。

一个变量和它自己的协方差就是这个变量的方差。

\[\operatorname{Cov}\left(r_{D}, r_{D}\right)=\sigma_D^2\]

\[\sigma_{P}^{2}=w_{D} w_{D} \operatorname{Cov}\left(r_{D}, r_{D}\right)+w_{E} w_{E} \operatorname{Cov}\left(r_{E}, r_{E}\right)+2 w_{D} w_{E} \operatorname{Cov}\left(r_{D}, r_{E}\right)\]

组合方差就是协方差的加权值，权重为协方差内一对资产在组合中权重的乘积。

注意到协方差可由相关系数\(\rho_{DE}\)计算得到

\[\operatorname{Cov}\left(r_{D}, r_{E}\right)=\rho_{D E} \sigma_{D} \sigma_{E}\]

没给协方差，只给了相关系数的情况下使用

\[\sigma_{p}^{2}=w_{D}^{2} \sigma_{D}^{2}+w_{E}^{2} \sigma_{E}^{2}+2 w_{D} w_{E} \sigma_{D} \sigma_{E} \rho_{D E}\]

\[\sigma_{p}^{2}=\left(w_{D} \sigma_{D}+w_{E} \sigma_{E}\right)^{2}\]

\[\sigma_{p}=w_{D} \sigma_{D}+w_{E} \sigma_{E}\]

因此，组合标准差就是两个收益完全正相关资产标准差的加权平均。在其他情况下，相关系数小于
1,使得组合标准差小于两个资产标准差的加权平均。

\[\sigma_{P}^{2}=\left(w_{D} \sigma_{D}-w_{E} \sigma_{E}\right)^{2}\]

\[\sigma_{p}=\left |w_{D} \sigma_{D}-w_{E} \sigma_{E}\right | \]

当ρ=-1时，通过解下式可以得到完全对冲的头寸

\[\begin{array}{c}w_{D} \sigma_{D}-w_{E} \sigma_{E}=0 \\w_{D}=\frac{\sigma_{E}}{\sigma_{D}+\sigma_{E}} \\w_{E}=\frac{\sigma_{D}}{\sigma_{D}+\sigma_{E}}=1-w_{D}\end{array}\]

最优风险资产组合

不同的风险资产组合会带来不同的期望收益，在图中表示为两条斜率不同的直线，显然斜率越大的分险资产组合夏普比率越大。那么想要找到最优风险资产组合就是要找到与投资可行集相交的

我们可以列出下式：

\[S_{p}=\frac{E\left(r_{p}\right)-r_{f}}{\sigma_{p}}\]

\[E(r_p)=w_DE(r_D)+w_EE(r_E)\]

\[\sigma_{p}=\sqrt{w_{D}^{2} \sigma_{D}^{2}+w_{E}^{2} \sigma_{E}^{2}+2 w_{D} w_{E} \operatorname{Cov}\left(r_{D}, r_{E}\right)} \]

当我们最大化目标函数\(S_p\)时，需要满足组合权重和为1的约束条件，即\(W_D+W_E=1\)，因此，我
们需解以下问题

\[Max\quad S_{p}=\frac{E\left(r_{p}\right)-r_{f}}{\sigma_{p}}\]

\[w_{D}=\frac{E\left(R_{D}\right) \sigma_{E}^{2}-E\left(R_{E}\right) \operatorname{Cov}\left(R_{D}, R_{E}\right)}{E\left(R_{D}\right) \sigma_{E}^{2}+E\left(R_{E}\right) \sigma_{D}^{2}-\left[E\left(R_{D}\right)+E\left(R_{E}\right)\right] \operatorname{Cov}\left(R_{D}, R_{E}\right)}\]

\[w_{E}=1-w_{D}\]