其中，是由上一层的单元到单元的连接的权重；是上一层的单元的输出；是单元的偏置。需要说明的是偏置充当阀值，用来改变单元的活性。给定单元的净输入，单元的输出，如下所示：
3.后向传播误差
（1）对于输出层单元，误差用下式计算：
其中，是单元的实际输出，而是给定训练元组的已知目标值。需要说明的是，是逻辑斯缔函数的导数。
（2）对于隐藏层单元，它的误差用下式计算：
其中，是由下一较高层中单元到单元的连接权重，而是单元的误差。
（3）权重更新，如下所示：
其中，是权重的改变量，变量是学习率，通常取0.0和1.0之间的常数值。
（4）偏置更新，如下所示：
其中，是的改变量。
（5）权重和偏置更新
如果每处理一个样本就更新权重和偏置，称为实例更新（case update）；如果处理完训练集中的所有元组之后再更新权重和偏置，称为周期更新（epoch update）。理论上，反向传播算法的数据推导使用周期更新，但是在实践中，实例更新通常产生更加准确的结果。
说明：误差反向传播的过程就是将误差分摊给各层所有单元，从而获得各层单元的误差信号，进而修正各单元的权值，即权值调整的过程。
4.终止条件
如果满足条件之一，就可以停止训练，如下所示：
（1）前一周期所有的都太小，小于某个指定的阀值。
（2）前一周期误分类的元组百分比小于某个阀值。
（3）超过预先指定的周期数。
实践中，权重收敛可能需要数十万个周期。神经网络的训练有很多的经验和技巧，比如可以使用一种称为模拟退火的技术，使神经网络确保收敛到全局最优。
三.用BP训练多层前馈神经网络
举个例子具体说明使用BP算法训练多层前馈神经网络的每个细节，如下所示：设置学习率为0.9，第一个训练元组为，其类标号为1。神经网络的初始权重和偏置值如表1所示：
根据给定的元组，计算每个神经元的净输入和输出，如表2所示：
每个神经元的误差值如表3所示：
说明：从误差的计算过程来理解反向（BP）传播算法也许更加直观和容易。权重和偏置的更新如表4所示：
说明：将该神经网络模型训练好后，就可以得到权重和偏执参数，进而做二分类。
四.用Python实现BP神经网络[3]
神经网络拓扑结构，如下所示：解析：
1.第33和35行：l1和l2分别表示第1层和第2层神经元的输出。（第0层表示元组输入）
2.第37行：l2_error与相对应。
3.第40行：l2_delta与输出层误差相对应。
4.第42行：l1_error与相对应。
5.第43行：l1_delta与隐藏层误差相对应。
6.第45行：l1.T.dot(l2_delta)与相对应，而syn1与相对应。
7.第46行：l0.T.dot(l1_delta)与相对应，而syn0与相对应。
说明：一边代码，一边方程，做到代码与方程的映射。这是一个基础的三层BP神经网络，但是麻雀虽小五脏俱全。主要的不足有几点：没有考虑偏置；没有考虑学习率；没有考虑正则化；使用的是周期更新，而不是实例更新（一个样本）和批量更新（m个样本）。但是，足以理解前馈神经网络和BP算法的工作原理。神经网络和BP算法的详细数学推导参考[5]。
参考文献：
[1]数据挖掘：概念与技术[第三版][2]使用Python构造神经网络：http://www.ibm.com/developerworks/cn/linux/l-neurnet/
[3]一个11行Python代码实现的神经网络：http://python.jobbole.com/82758/
[4]用BP人工神经网络识别手写数字：http://blog.csdn.net/gzlaiyonghao/article/details/7109898
[5]反向传导算法：http://ufldl.stanford.edu/wiki/index.php/%E5%8F%8D%E5%90%91%E4%BC%A0%E5%AF%BC%E7%AE%97%E6%B3%95