1. 曲线构图
目的 ：利用f′,f′′的正负值绘制复杂的函数图形。
规则如下:
- f′>0⇒f递增.
- f′<0⇒f递减.
- f′′>0⇒f′递增.(凸函数)
- f′′<0⇒f′递减.（凹函数）
Ex:
f(x)=3x−x3.
f′(x)=3−3x2=3(1+x)(1−x)
由上式子可以得出以下结论：
- −1<x<1⇒f′(x)>0⇒f递增
- x>1⇒f′(x)<0⇒f递减
- x<−1⇒f′(x)<0⇒f递减
简图如下所示：
驻点：f′(x)=0的点x0为驻点，其f′(x0)为驻点值。
根据上式可知：x=±1，f(1)=2,f(−1)=−2.
拐点：f′′(0)=0时的x值。
由f′′(x)=−6x.可知：
当x<0时，f′′>0⇒f′递增.(凸函数)
当x>0时，f′′<0⇒f′递减.（凹函数）
当x>+∞时，f(x)=3x−x3⇒−∞,(3x可以忽略低阶)
当x>−∞时，f(x)⇒+∞
Ex 绘制f(x)=x+2x+1的图形。
因f′(x)=(x+2)21̸=0, 所以无驻点。
f((−2)+)=(−2)++2−2+1=0+−1=−∞
f((−2)−)=（−2)−+2−2+1=0−−1=+∞
分别考虑两个最远端:
x→±∞,f(x)=x+2x+1=1+x21+x1→1
导数：x+2x+1=x+2x+2−1=1−x+21=0.
f′(x)=(x+2)21>0,(x̸=−2),原函数递增。
f′′(x)=(x+2)3−2,(x̸=−2)
f′′(x)<0,(−2<x<+∞),凹函数
f′′(x)>0,(−∞<x<−2),凸函数
2. 总结：
- 无驻点，找出±∞,无限远端，容易标出的点。
- 有驻点，标出驻点，以及其值。
- 判断f′在驻点或无限远端的正负性。
- 判断f′′，判断凹凸、拐点。
Ex:f(x)=lnxx,x>0
- f(1+)=+∞,f(1−)=−∞
- f(0+)=−∞0+=0，f(∞)=+∞
- f′(x)=(lnx)2lnx−1(x̸=1,x>0)
- f′(x)=0,x=e
- f′(x)<0,x<e
- f′(x)>0,x>e
- f′′(x)=−(lnx)−2x1+2(lnx)−1x1=x(lnx)32−lnx
- f′′(x)<0,0<x<1，凹函数
- f′′(x)>0,1<x<e2,凸函数
- f′′(x)<0,e2<x<+∞,凹函数
如图所示：