时间复杂度和空间复杂度

算法的时间复杂度和空间复杂度

算法的时间复杂度

时间频度T(n)

一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记作T(n)

时间复杂度O(f(n))

一般情况下，算法中的基本操作语句的重复执行次数(即时间频度)是问题规模n的某个函数，用T(n)表示。若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n) / f(n)的极限值为不等于零的常数，则成f(n)是T(n)的同数量级函数(等价无穷小)。记作T(n) = O(f(n))，称O(f(n))为算法的渐进时间复杂度，简称复杂度。

计算时间复杂度的方法

step1: 用常数1代替运行时间中的所有加法常数T(n) = 3n^2 + 7n + 6 ——> T(n) = 3n^2 + 7n + 1
step2: 修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项T(n) = 3n^2 + 7n + 1——> T(n) = 3n^2
step3: 去除最高阶项的系数T(n) = 3n^2 ——> T(n) = n2)

常见的时间复杂度

常数阶O(1)
对数阶O(log2n)
线性阶O(n)
线性对数阶O(nlog2n)
平方阶O(n^2)
立方阶O(n^3)
k次方阶O(n^k)
指数阶O(2^n)
n!
n^n

常见的算法时间复杂度由小到大依次为：O(1) < O(log2n) < O(n) < O(nlog2n) < O(n^2) < O(n^3) < O(n^k) < O(2^n) < O(n!) < O(n^n)，随着问题规模n的不断扩大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低

常数阶O(1)

int i = 1;
int j = 10000000;

无论代码执行了多少行，只要是没有循环等复杂结构，那这个代码的时间复杂度就是O(1)

对数阶O(log2n)

int i = 1;
while (i < n) {
    i = i * 2;
}

循环中的语句执行1次，i的值为2；执行2次，i的值4...若执行x次，则i的值为2^x

循环退出的条件为：i == n

也即2^x == n，则x = log2n，即T(n) = log2n，则时间复杂度O(log2n)

线性阶O(n)

for (int i = 1; i <= n; i ++) {
    j = i;
    j ++;
}

for循环里面的代码会执行n遍，它消耗的时间是随着n的变化而变化的，因此这类代码都可以用O(n)来表示它的时间复杂度

线性对数阶O(nlogN)

for (m = 0; m < n; m ++) { // 时间复杂度为O(n)
    i = 1;
    while (i < n) { //时间复杂度为O(log2n)
        i = i * 2;
    }
}

线性对数阶O(nlogN) 其实非常容易理解，将时间复杂度为O(logn)的代码循环n遍的话，那么它的时间复杂度就是 n * O(logN)，也就是了O(nlogN)

平方阶O(n^2)

for (int i = 1; i <= n; i ++) {
    for (int j = 1; j <= n; j ++) {
        j = i;
        j ++;
    }
}

如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是 O(n²)，这段代码其实就是嵌套了2层n循环，它的时间复杂度就是 O(nn)，即O(n^2) 如果将其中一层循环的n改为m，那么它的时间复杂度就变成了O(mn)(O(mn)相当于两层for循环，一层执行m次，一层执行n次)。

立方阶O(nk)

O(n³)相当于三层n循环，其他的类似

平均时间复杂度和最坏时间复杂度

平均复杂度：指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，该算法的运行时间。
最坏时间复杂度：最坏情况下的时间复杂度，一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂。这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限，这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长。
平均时间复杂度和最坏时间复杂度是否一致，和算法有关。

算法的空间复杂度

类似于时间复杂度的讨论，一个算法的空间复杂度(Space Complexity)定义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模n的函数。
空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模n有关，它随着n的增大而增大，当n较大时，将占用较多的存储单元，例如快速排序和归并排序算法就属于这种情况
在做算法分析时，主要讨论的是时间复杂度。从用户使用体验上看，更看重的程序执行的速度。一些缓存产品(redis, memcache)和算法(基数排序)本质就是用空间换时间.

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