差分数组
问题背景
如果给你一个包含5000万个元素的数组，然后会有频繁区间修改操作，那什么是频繁的区间修改操作呢？比如让第1个数到第1000万个数每个数都加上1，而且这种操作时频繁的。
此时你应该怎么做？很容易想到的是，从第1个数开始遍历，一直遍历到第1000万个数，然后每个数都加上1，如果这种操作很频繁的话，那这种暴力的方法在一些实时的系统中可能就拉跨了。
因此，今天的主角就出现了——差分数组。
差分数组原理
比如我们现在有一个数组d，d={0,2,5,4,9,7,10,0}
| d[i] | 0 | 2 | 5 | 4 | 9 | 7 | 10 | 0 |
那么差分数组是什么呢？
其实差分数组本质上也是一个数组，我们暂且定义差分数组为d，差分数组f的大小和原来d数组大小一样，而且f[i]=d[i]-d[i-1] (i≠0)。
它的含义是什么？就是原来数组i位置上的元素和i-1位置上的元素作差，得到的值就是d[i]的值。
所以，例子中的arr数组其对应的差分数组值如下图所示。
| d[i] | 0 | 2 | 5 | 4 | 9 | 7 | 10 | 0 |
| f[i] | 0 | 2 | 3 | -1 | 5 | -2 | 3 | -10 |
那么构造了这么个玩意有什么用呢？难道是来浪费宝贵的内存空间的？嗯，确实是来浪费宝贵的内存了，但是却换了时间上的高效。
现在我们有这么一个区间修改操作，即在区间1~4上，所有的数值都加上3.
| d[i] | 0 | 2+3 | 5+3 | 4+3 | 9+3 | 7 | 10 | 0 |
| f[i] | 0 | 2+3 | 3 | -1 | 5 | -2-3 | 3 | -10 |
由上面的表格可以知道，我们不要傻傻地遍历arr数组的[1，4]范围，然后再分别给每个值加上3，我们此时更改差分数组d即可。
显而易见，差分数组d在[2，4]范围内的值都不用改变，只需要改变差分数组位置1和位置5的值即可，即f[1]=f[1]+3，而f[5]=f[5]-3，其余不变，为什么呢？因为差分数组的定义——f[i]=d[i]-d[i-1]
现在，我们如何根据差分数组f来推测d中某一个位置的值呢？
比如，此时，我们想知道d[1]的值，我们不能直接通过d[1]得到原来的值，因为在区间修改的操作中我们并没有修改d的值，因此我们必须从前往后遍历递推，由于f[0]=d[0]-0(我们定义d[0]的前一个数为0)，那么d[0]=f[0]+0，又由于f[1]=d[1]-d[0]=5，那么d[1]=5+f[0]。以此类推，由于f[2]=d[2]-d[1]，所以d[2]=3+f[1]。
差分数组定义
对于已知有n个元素的离线数列d，我们可以建立记录它每项与前一项差值的差分数组f，显然有：
$$f[i] =\begin{cases}d[i]; (i=0)\\d[i]-d[i-1]; (1<=i<n)\\\end{cases}$$
差分数组简单性质
(1)计算数列各项的值：数列第i项的值是可以用差分数组的前i项的和计算的，即前缀和。
(2)计算数列每一项的前缀和：第i项的前缀和即为数列前i项的和，那么推导可知:
$$SUM_x=\sum_{i=1}^x{d_x}={\sum_{i=1}^x}{\sum_{j=1}^x{f_j}}=\sum_{i=1}^x{(x-i+1)*f_i}$$
即可用差分数组求出数列前缀和；
差分数组用途
1.快速处理区间加减操作：
假如现在对数列中区间[L,R]上的数加上x，我们通过性质(1)知道，第一个受影响的差分数组中的元素为f[L],即令f[L]+=x，那么后面数列元素在计算过程中都会加上x；最后一个受影响的差分数组中的元素为f[R],所以令f[R+1]-=x，即可保证不会影响到R以后数列元素的计算。这样我们不必对区间内每一个数进行处理，只需处理两个差分后的数即可；
2.询问区间和问题：
由性质(2)我们可以计算出数列各项的前缀和数组sum各项的值；那么显然，区间[L,R]的和即为ans=sum[R]-sum[L-1];
差分数组用途应用
1.题目
2.解法
class Solution {
public int[] corpFlightBookings(int[][] bookings, int n) {
int[] nums = new int[n];
for (int[] booking : bookings) {
nums[booking[0] - 1] += booking[2];
if (booking[1] < n) {
nums[booking[1]] -= booking[2];
}
}
for (int i = 1; i < n; i++) {
nums[i] += nums[i - 1];
}
return nums;
}
}