多数投票算法( Boyer-Moore Voting Algorithm)及推广
摩尔投票算法也可以叫做多数投票算法,是我在看到 leetcode 169(Majority Element)题目时看到的算法。
这篇文章从 leetcode 169(Majority Element)出发讲解摩尔投票算法的原理和优势,同时从 leetcode 229(Majority Element2)出发讲解摩尔投票算法的改进和推广。(本文所有代码都是python代码)
一、Majority Element题目介绍
给定一个长度为n的数组的时候,找出其中的主元素,即该元素在数组中出现的次数大于n/2的取整。题目中已经假定所给的数组一定含有元素,且主元素一定存在。一下是一些常用方法:
1.用字典遍历每个元素,并计数
dic = {}
for x in nums:
if x in dic:
dic[x] += 1
else:
dic[x] = 1
for key,value in dic.items():
if value > len(nums)/2:
return key
2.排序法
排序后,出现次数大于一半的肯定在中间
nums.sort()
return nums[len(nums)//2]
二、摩尔投票算法
摩尔投票算法的时间和空间都很低,时间复杂度为O(n),空间复杂度为O(1),这也是选择遮盖算法的原因。
1.算法原理
每次从数组中找出一对不同的元素,将它们从数组中删除,直到遍历完整个数组。由于这道题已经说明一定存在一个出现次数超过一半的元素,所以遍历完数组后数组中一定会存在至少一个元素。
- 算法在局部变量中定义一个序列元素(m)和一个计数器(i),初始化的情况下计数器为0;
- 算法依次扫描序列中的元素,当处理元素x的时候,如果计数器为0,那么将x赋值给m,然后将计数器(i)设置为1;
- 如果计数器不为0,那么将序列元素m和x比较,如果相等,那么计数器加1,如果不等,那么计数器减1。
- 处理之后,最后存储的序列元素(m),就是这个序列中最多的元素。
(如果不确定是否存储的元素m是最多的元素,还可以进行第二遍扫描判断是否为最多的元素)
总结起来,核心思想就是,多数元素因为其个数超过了n/2,所以用一个多数元素和抵消一个其他元素,那么剩下一定是多数元素,如果抵消过程中,有其他元素和其他元素抵消了,那么就会剩下更多的多数元素。
2,算法伪代码
初始化元素m=0,计数器count=0;
遍历数组中的每个数x:
if i = 0:
m = x and count = 1
else if m = x:
count = count + 1
else:
count = count − 1
return m
3,Majority Element的摩尔投票算法求解
num,count = nums[0],0
for x in nums:
if count == 0:
num,count = x,1
elif x == num:
count += 1
else:
count -= 1
return num
三、摩尔投票算法的改进
1.题目:LeetCode 229 Majority Element II
给定一个整型数组,找到所有主元素,它在数组中的出现次数严格大于数组元素个数的三分之一。
算法:每次删除三个不相同的数,最后留下的一定是出现次数超过1/3的数,这个思想可以推广到出现次数超过1/k次的元素有哪些。
- 因为出现次数大于n/3的元素最多只有两个,所以最开始可以维护两个数字(num1,num2)和两个计数器(counter1,counter2);
- 遍历数组,当数组中元素和num1或者num2相同,对应的counter1或者counter2加1;
- 如果counter1或counter2为0,将遍历到的该元素赋给num1或者nums2;
- 否则counter1和counter2都减1。
2.python代码
num1,count1 = None,0
num2,count2 = None,0
for x in nums:# 算法核心,找出主要元素的候选值
if x == num1:
count1 += 1
elif x == num2:
count2 += 1
elif count1 == 0:
num1,count1 = x,1
elif count2 == 0:
num2,count2 = x,1
else:
count1 -= 1
count2 -= 1
count1,count2 = 0,0
for x in nums:# 统计确定候选值是真的主要元素
if x == num1:
count1 += 1
if x == num2:
count2 += 1
res = []
if count1 > len(nums)//3:
res.append(num1)
if count2 > len(nums)//3:
res.append(num2)
return res