1 网络中的传播
1.1 一些传播的例子
我们现在来研究网络中的传播。事实上，在网络中存在许多从节点到节点级联的行为，就像传染病一样。这在不同领域中都有所体现，比如：
生物学 传染性疾病
信息技术 级联故障，信息的传播
社会学 谣言、新闻、新技术的传播，虚拟市场
下图就展示了一个信息经由媒体扩散（diffusion）的过程：
1.2 基于网络构建传播模型
接下来我们看如何基于网络构建传播模型。以传染病为例，传染病会沿着网络的边进行传播。这种传播形成了一个传播树，也即级联，如下图所示：
我们定义一些术语：将其中传播的对象为contagion；被传染这一事件称为adoption、infection或activation；已被传染的节点称为infected/active nodes或adoptors。
接下来我们来看如何为扩散进行建模。目前已经提出了决策模型和概率模型两种模型。
- 决策模型 在这种模型中每个节点会先观察其邻居的决策，然后再以此为依据做出自己的决策。比如若我的\(k\)个朋友去参加了游行，那么我就去。
- 概率模型 在这种模型中一个已被传染的节点会以一定概率传染其它没有被传染的节点。比如我有几个邻居已经被传染，那么我也有一定概率被传染。这种模型通常用于影响或疾病传播建模。
本篇文章我们介绍决策模型中的集体行动模型和协调博弈模型，下篇文章我们再介绍概率模型。
2 集体行动模型
2.1 模型介绍
Granvetter于1978年提出了集体行动（collective action）模型。在这种模型中，每个人都可以看见任何人的行为并以此为依据进行行动（这也就意味着我们假设网络是完全图）。该模型在日常生活中的一些常见例子包括：在剧院鼓掌或起身离开、在股市中是否存钱以及日常生活中的抗议、罢工等等。接下来我们来探究参与某个给定活动的人数是如何随着时间的推移而增减的。
设有\(n\)个人且每个人可以观测到彼此的行动。对每个人\(i\)都有一个阈值\(t_i(0\leq t_i \leq 1)\)。当且仅当至少有占比\(t_i\)的人采取了某个行为时，节点\(i\)也会采取该行为。事实上\(i\)节点采取行动的概率是如下的阶跃函数（横轴是采取行动的人数比例）：
小的\(t_i\)也就意味着\(i\)是一个早采纳者（early adopter），而大的\(t_1\)则意味着\(i\)是一个迟采纳者（late adopter）。我们假设这里的时间步是离散的。
我们设\(\{t_1,\cdots, t_n\}\)为所有人的行动阈值集合。设\(F(x)\)为阈值\(t_i\leq x\)的人数比例（\(F(\cdot)\)事先已给定，它是传染一个的属性），它是非递减的，即满足：