假设 f(x) 趋于无穷，因为 x 趋于无穷且 a,b>0。找到产生最低阶的 f(x)
因为 x 趋于无穷大。
按顺序我的意思是 Big O 和 Little o 符号。
我只能粗略解决:
我的解决方案 :当 x 趋于无穷大时，我们可以说 ln(1+f(x)) 大约等于 ln(f(x))。然后，我必须最小化
因为对于任何 c>0，当 y =sqrt(c) 时 y+c/y 最小化，b+ln f(x)}=sqrt(ax) 是答案。等效地，f(x)=e^(sqrt(ax)-b) 并且 g(x) 的最低阶是 2 sqrt(ax)。
你能帮我得到一个严格的答案吗？
最佳答案
最小化(我应该说极端化)另一个函数的函数的严格方法是使用欧拉-拉格朗日关系:
因此:
泰勒展开式:
如果我们只考虑“常数”项:
这当然是你得到的结果。
接下来，线性项:
我们无法解析解这个方程；但我们可以探索函数 f(x) 中扰动的影响(即参数对先前解决方案的微小变化)。我们显然可以忽略 f 的任何线性变化，但我们可以添加一个正的乘法因子 A :
sqrt(ax) 和 Af 显然都是正数，所以 RHS 有一个负号。这意味着 ln(A) < 0 ，因此 A < 1 ，即新的扰动函数给出了一个(稍微)更严格的界限。由于 RHS 必须非常小 ( 1/f )，因此 A 不能比 1 小很多。
更进一步，我们可以向 B 的指数添加另一个扰动 f :
由于 ln(A) 和 RHS 都消失得很小，LHS 上的 B 项必须更小才能使符号一致。
所以我们可以得出结论，(1) A 非常接近 1，(2) B 远小于 1，即你得到的结果实际上是一个非常好的上界。
以上也导致 f 的更高功率的更严格界限的可能性。
关于big-o - 当 x 趋于无穷大时 f(x) 最小化 g(f(x)) 的阶数，我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题：https://stackoverflow.com/questions/45108162/