arrays - 如何创建二维莫比乌斯带，克莱因瓶和射影平面阵列？

我在看下面关于“Games on Strange Boards”的文章。它描述了各种本地二维阵列拓扑，例如：
Cylinder

Torus

Möbius strip

Klein bottle

Projective plane

在上面的图表中，具有相同箭头的边以箭头匹配的方式粘在一起因此，如果箭头指向同一方向，则它们将正常粘合但是，如果它们指向不同的方向，那么它们在扭曲后被粘合。
例如，从圆柱体的右上边缘移开将使您返回到左上边缘但是，从móbius条的右上边缘移动会将您包裹回左下边缘。
现在，创建圆柱形和环形阵列很容易。使用模操作使行和列环绕。考虑用于计算具有m行和n列的环形阵列的坐标的代码：

const mod = (x, y) => (x % y + y) % y; // floored division modulo operation

const coords = (m, n) => (i, j) => [mod(i, m), mod(j, n)]; // toroidal array

你将如何计算一个莫比斯条，克莱恩瓶或投影平面的坐标考虑到这些都是non-orientable surfaces，有什么特殊情况需要处理吗？

最佳答案

假设一个圆柱体是由一张长方形的纸制成的床单有两面，正面和背面。当我们把纸粘到圆筒里时，我们不能从正面（圆筒外面）到背面（圆筒里面）。然而，如果我们把这张纸粘到一条莫比乌斯带上，我们就可以了如果我们将两边分开并将其展平，那么Móbius条带上的网格看起来会是这样的：

 ┌────┬────┬────┬────┰────┬────┬────┬────┐
 │ a4 │ b4 │ c4 │ d4 ┃ A1 │ B1 │ C1 │ D1 │
 ├────┼────┼────┼────╂────┼────┼────┼────┤
 │ a3 │ b3 │ c3 │ d3 ┃ A2 │ B2 │ C2 │ D2 │
 ├────┼────┼────┼────╂────┼────┼────┼────┤
 │ a2 │ b2 │ c2 │ d2 ┃ A3 │ B3 │ C3 │ D3 │
 ├────┼────┼────┼────╂────┼────┼────┼────┤
 │ a1 │ b1 │ c1 │ d1 ┃ A4 │ B4 │ C4 │ D4 │
 └────┴────┴────┴────┸────┴────┴────┴────┘

注意左边的正方形（即小写的）在前面，而右边的正方形（即大写的）在后面。只有大小写差异的正方形是相同的正方形，仅位于móbius条的对边上。需要注意的一点是，这条扁平的莫比斯带很像一个圆柱体，只是左右两边重合。
下面是莫比斯脱衣舞的代码：

const mod = (x, y) => (x % y + y) % y;

const coords = (m, n) => (i, j) => {
    j = mod(j, 2 * n);         // wrapping around like a cylinder
    if (j < n) return [i, j];  // front side
    return [m - i - 1, j - n]; // back side, translated to front side
};

一个克莱恩瓶和一个莫比斯条完全一样，只是它的行为像一个圆环而不是一个圆柱体以下是克莱恩瓶的密码：

const mod = (x, y) => (x % y + y) % y;

const coords = (m, n) => (i, j) => {
    i = mod(i, m);             // wrapping around
    j = mod(j, 2 * n);         // like a torus
    if (j < n) return [i, j];  // front side
    return [m - i - 1, j - n]; // back side, translated to front side
};

投影平面的行为也类似于圆环但是，它的每一侧都可以有两个方向，规则的和旋转180°。下面是一个扁平的投影平面的样子：

 ┌────┬────┬────┬────┰────┬────┬────┬────┐
 │ a4 │ b4 │ c4 │ d4 ┃ A1 │ B1 │ C1 │ D1 │
 ├────┼────┼────┼────╂────┼────┼────┼────┤
 │ a3 │ b3 │ c3 │ d3 ┃ A2 │ B2 │ C2 │ D2 │
 ├────┼────┼────┼────╂────┼────┼────┼────┤
 │ a2 │ b2 │ c2 │ d2 ┃ A3 │ B3 │ C3 │ D3 │
 ├────┼────┼────┼────╂────┼────┼────┼────┤
 │ a1 │ b1 │ c1 │ d1 ┃ A4 │ B4 │ C4 │ D4 │
 ┝━━━━┿━━━━┿━━━━┿━━━━╋━━━━┿━━━━┿━━━━┿━━━━┥
 │ D4 │ C4 │ B4 │ A4 ┃ d1 │ c1 │ b1 │ a1 │
 ├────┼────┼────┼────╂────┼────┼────┼────┤
 │ D3 │ C3 │ B3 │ A3 ┃ d2 │ c2 │ b2 │ a2 │
 ├────┼────┼────┼────╂────┼────┼────┼────┤
 │ D2 │ C2 │ B2 │ A2 ┃ d3 │ c3 │ b3 │ a3 │
 ├────┼────┼────┼────╂────┼────┼────┼────┤
 │ D1 │ C1 │ B1 │ A1 ┃ d4 │ c4 │ b4 │ a4 │
 └────┴────┴────┴────┸────┴────┴────┴────┘

所以，下面是投影平面的代码：

const mod = (x, y) => (x % y + y) % y;

const coords = (m, n) => (i, j) => {
    i = mod(i, 2 * m);         // wrapping around
    j = mod(j, 2 * n);         // like a torus

    if (i >= m) {              // collapse to Klein bottle topology
        i -= m;
        j  = mod(n - j - 1, 2 * n);
    }

    if (j < n) return [i, j];  // front side
    return [m - i - 1, j - n]; // back side, translated to front side
};

希望能有所帮助。

关于arrays - 如何创建二维莫比乌斯带，克莱因瓶和射影平面阵列？，我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题：https://stackoverflow.com/questions/53087240/