题意

求 $ \displaystyle \sum_{i=1}^n i^k \ mod (1e9+7), n \leq 10^9, k \leq 10^6$.

分析

易知答案是一个 $k+1$ 次多项式,我们找 $k+2$ 个值代进去,然后拉格朗日插值。

$n+1$ 组点值对 $(x_i, y_i)$,得到 $n$ 次多项式 $f$ 的拉格朗日插值公式为:

$$f(x) = \sum_{i = 0}^n y_i\prod_{j\not =i} \frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$

时间复杂度为 $O(n^2)$,

如果我们取 $n$ 个连续的值,这样可以预处理阶乘,复杂度降至 $O(n)$,

在这题中复杂度为 $O(k log{mod})$,其中 $O(log mod)$为求逆元的时间。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const ll mod = 1e9 + 7;
const int maxk = 1000000 + 10;
ll n, k;

ll qpow(ll m, ll n, ll mod)
{
    ll res = 1;
    while (n > 0)
    {
        if (n & 1)
            res = (res * m) % mod;
        m = (m * m) % mod;
        n = n >> 1;
    }
    return res;
}

ll fac[maxk], y[maxk];  //前k+2项前缀和都已经算好
ll Largrange()
{
    fac[0]=fac[1]=1,y[1]=1;
    for(int i=2;i<=k+2;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;      //预处理阶乘
    for(int i=2;i<=k+2;i++) y[i]=(y[i-1]+qpow(i,k, mod))%mod;  //预处理求出每一项的结果
    if(n<=k+2)  return y[n];
    ll ans = 0, prod = 1, sig;
    for(ll i = n-k-2; i <= n-1;i++)  prod = prod * i % mod;
    for(ll i = 1;i <= k+2;i++)
    {
        ll fz = prod * qpow(n-i, mod-2, mod) % mod;
        ll fm = qpow(fac[i-1] * fac[k+2-i] % mod, mod-2, mod);
        if((k+2-i) % 2 == 0)  sig = 1;
        else sig = -1;
        ans = (ans + sig*y[i]*fz%mod*fm%mod + 2*mod) % mod;
    }
    return ans;
;}


int main()
{
    scanf("%lld%lld", &n, &k);
    printf("%lld\n", Largrange());

    return 0;
}

 
参考链接:
01-24 16:50