我试图找到最简单的方法来确定一个点在四边形内的相对位置。已知的是（见图）xy坐标系中的点1、2、3、4和5的位置：x1，y1，x2，y2，x3，y3，x4，y4，x5，y5。
还已知点1、2、3和4在ξ-η坐标系中的位置（见图）。
根据这些数据，我想确定点5的ξ和η是什么。
结果
感谢所有激怒的人！我发现@dbc和@agentp的解决方案相似。另外，我发现此解决方案比@MBo的透视变换解决方案更好，因为我不必计算矩阵的逆数（Ax = B-> x = inv（A）* B）。
我得到以下结果：
u = 0.5 * (ξ + 1)
v = 0.5 * (η + 1)
在我的情况下，所有点都在矩形内，因此u> 0和v> 0。
最佳答案
您在这里拥有的是2d bilinear blended surface。为简单起见，让我们将其坐标范围从零更改为一：
u = 0.5 * (ξ + 1)
v = 0.5 * (η + 1)
在这种情况下，表面评估器可以表示为
F(u, v) = P1 + u * (P2 - P1) + v * ((P4 + u * (P3 - P4)) - (P1 + u * (P2 - P1)))
即，对于给定的
u，构造一条穿过以下两点的线：Pv0 = P1 + u * (P2 - P1);
Pv1 = P4 + u * (P3 - P4);
然后在给定的
v之间进行插值F(u, v) = Pv0 + v * (Pv1 - Pv0)
您要查找的是值
(u,v)，例如F(u, v) = P5。当从u到Pv0的行通过Pv1时，对于给定的P5会发生这种情况，这在P5 - Pv0与Pv1 - Pv0平行时发生-即当它们的2d cross为零时：cross2d(P5 - Pv0, Pv1 - Pv0) = 0
⇒
cross2d(P5 - (P1 + u * (P2 - P1)),
P4 + u * (P3 - P4) - (P1 + u * (P2 - P1))) = 0
现在，两个二维向量
A ⨯ B的2d cross由Ax*By - Ay*Bx给出，因此等式变为(x5 - (x1 + u * (x2 - x1))) * (y4 + u * (y3 - y4) - (y1 + u * (y2 - y1))) - (y5 - (y1 + u * (y2 - y1))) * (x4 + u * (x3 - x4) - (x1 + u * (x2 - x1))) = 0
Expanding this expression out and collecting collecting together terms in
u，我们得到 u^2 * (x1*y3 - x1*y4 - x2*y3 + x2*y4 + (-x3)*y1 + x3*y2 + x4*y1 - x4*y2)
+ u * (-x1*y3 + 2*x1*y4 - x1*y5 - x2*y4 + x2*y5 + x3*y1 - x3*y5 - 2*x4*y1 + x4*y2 + x4*y5 + x5*y1 - x5*y2 + x5*y3 - x5*y4)
+ (-x1*y4 + x1*y5 + x4*y1 - x4*y5 - x5*y1 + x5*y4)
= 0
现在，这是在
u上的二次方程，因此可以是solved。请注意，在四边形的顶部和底部边缘平行的情况下，二次方可分解为线性方程式；您的二次方程求解器必须处理此问题。 double a = (x1 * y3 - x1 * y4 - x2 * y3 + x2 * y4 + (-x3) * y1 + x3 * y2 + x4 * y1 - x4 * y2);
double b = (-x1 * y3 + 2 * x1 * y4 - x1 * y5 - x2 * y4 + x2 * y5 + x3 * y1 - x3 * y5 - 2 * x4 * y1 + x4 * y2 + x4 * y5 + x5 * y1 - x5 * y2 + x5 * y3 - x5 * y4);
double c = (-x1 * y4 + x1 * y5 + x4 * y1 - x4 * y5 - x5 * y1 + x5 * y4);
double[] solutions = Quadratic.Solve(a, b, c);
可能有不止一种解决方案。退化的四边形也可能没有解决方案。
解决了
u的值后，找到等效的v很简单。给定分数Pv0 = P1 + u * (P2 - P1);
Pv1 = P4 + u * (P3 - P4);
您寻求
v这样v * (Pv1 - Pv0) = P5 - Pv0;
选择坐标索引0或1，以使
|(Pv1 - Pv0)[index]|最大化。 （如果两个坐标都几乎为零，则放弃-此特定的u没有解决方案。然后设置v = (P5 - Pv0)[index] / (Pv1 - Pv0)[index];
最后，如果您有一个以上的解决方案，则最好在混合的
[u, v]边界内使用一个解决方案。然后终于定了ξ = 2 * u - 1;
η = 2 * v - 1;