c++ - 对 Eigen QR分解感到困惑

我对 Eigen 的QR分解感到困惑。我的理解是，矩阵Q隐式存储为一系列Householder变换，并且矩阵R存储为上三角矩阵，并且R的对角线包含A的特征值(至少直到相位，即我所关心的)。

但是，我编写了以下程序，该程序通过两种不同的方法来计算矩阵A的特征值，一种使用Eigen::EigenSolver，另一种使用QR。我知道我的QR方法返回错误的结果，并且EigenSolver方法返回正确的结果。

我在这里误会什么？

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <Eigen/Dense>

int main()
{
    using Real = long double;
    long n = 2;
    Eigen::Matrix<Real, Eigen::Dynamic, Eigen::Dynamic> A(n,n);

    for(long i = 0; i < n; ++i) {
        for (long j = 0; j < n; ++j) {
            A(i,j) = Real(1)/Real(i+j+1);
        }
    }

    auto QR = A.householderQr();

    auto Rdiag = QR.matrixQR().diagonal().cwiseAbs();
    auto [min, max] = std::minmax_element(Rdiag.begin(), Rdiag.end());
    std::cout << "\u03BA\u2082(A) = " << (*max)/(*min) << "\n";

    std::cout << "\u2016A\u2016\u2082 via QR = " << (*max) << "\n";
    std::cout << "Diagonal of R =\n" << Rdiag << "\n";


    // dblcheck:

    Eigen::SelfAdjointEigenSolver<decltype(A)> eigensolver(A);
    if (eigensolver.info() != Eigen::Success) {
        std::cout << "Something went wrong.\n";
        return 1;
    }
    auto absolute_eigs = eigensolver.eigenvalues().cwiseAbs();
    auto [min1, max1] = std::minmax_element(absolute_eigs.begin(), absolute_eigs.end());
    std::cout << "\u03BA\u2082(A) via eigensolver = " << (*max1)/(*min1) << "\n";
    std::cout << "\u2016A\u2016\u2082 via eigensolver = " << (*max1) << "\n";
    std::cout << "The absolute eigenvalues of A via eigensolver are:\n" << absolute_eigs << "\n";
}

输出:

κ₂(A) = 15
‖A‖₂ via QR = 1.11803
Diagonal of R =
  1.11803
0.0745356
κ₂(A) via eigensolver = 19.2815
‖A‖₂ via eigensolver = 1.26759
The absolute eigenvalues of A via eigensolver are:
0.0657415
  1.26759

其他资讯:

头部的克隆特征:

$ hg log | more
changeset:   11993:20cbc6576426
tag:         tip
date:        Tue May 07 16:44:55 2019 -0700
summary:     Fix AVX512 & GCC 6.3 compilation

在使用g++-8，g++-9和Apple Clang(带有和不带有-ffast-math)进行编译时发生。我得到了与Eigen::FullPivHouseholderQR相同的错误结果。

我也查看了源HouseholderQR.h，他们通过m_qr.diagonal().prod()计算行列式，这使我对自己正确使用API​​更有信心。从EigenSolver中获取特征值的乘积返回与QR.absDeterminant()相同的值。

以下代码段不返回原始矩阵A:

Eigen::Matrix<Real, Eigen::Dynamic, Eigen::Dynamic> R = QR.matrixQR();
Eigen::Matrix<Real, Eigen::Dynamic, Eigen::Dynamic> Q = QR.householderQ();
std::cout << "Q*R = \n" << Q*R << "\n";

我检查了Q是否具有所有必需的属性:Q ^ -1 = Q ^ T，Q ^ TQ = I和| det(Q)| = 1.

我还验证了QR.householderQ().transpose()*QR.matrixQR()不等于A；尽管一列是正确的而另一列是错误的。

最佳答案

正如@geza所指出的，QR分解的R矩阵将(通常)不包含原始矩阵的特征值，如果是这种情况，生活将非常容易:)

对于另一个问题，如果要从A和Q重构R，则只需查看QR.matrixQR()的上三角部分

Eigen::Matrix<Real, Eigen::Dynamic, Eigen::Dynamic>
              R = QR.matrixQR().triangularView<Eigen::Upper>();

除此之外，我建议在将auto与表达式模板结合使用时要格外小心(在您的情况下，这没有什么大错，除了Rdiag至少被评估了两次)。

而且，在现代CPU上使用long double几乎不是一个好主意。首先，请确保您使用的算法在数值上是稳定的，并且如果确实存在精度问题，请考虑使用任意精度浮点数(例如MPFR)。