[线性DP][codeforces-1110D.Jongmah]一道花里胡哨的DP题

题意：你有n张牌（1，2，3，...，m）你要尽可能多的打出[x,x+1,x+2] 或者[x,x,x]的牌型，问最多能打出多少种牌

思路：

1.三组[x,x+1,x+2]的效果等同于 [x,x,x],[x+1,x+1,x+1],[x+2,x+2,x+2]，所以每种顺子牌型最多打2次（如果多于2次，可以被少于3次的方案替代掉，因此忽略）

2.对于每一种牌，用途只有四种。[i-2,i-1,i], [i-1,i,i+1], [i,i+1,i+2], [i,i,i]

　我们可以枚举每张牌在四种用途里分别投入了多少

　由简单的容斥原理，我们只需要枚举三种顺子牌型分别有x,y,z组，那么[i,i,i]就有(c[i]-x-y-z)/3组

　于是我们就有了线性dp的思路

　如果建立dp[maxn][3][3][3]，dp[i][x][y][z]表示在第i阶段，第i张牌用来组成三种牌型分别有x,y,z组的最优结果，有dp[i][x][y][z] = max{dp[i-1][?][x][y]} + z + (c[i] - x - y - z) / 3, ans = max{dp[n][?][0][0])

　AC代码：

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2
 3 using namespace std;
 4 const int maxn = 1e6 + 5;
 5 int n;
 6 int c[maxn];
 7 int dp[maxn][3][3][3];
 8 int main(){
 9     //freopen("data.in","r",stdin);
10     ios::sync_with_stdio(false);
11     cin.tie(0);
12     int cc,t;
13     cin >> cc >> n;
14     for(int i = 1; i <= cc; i++){
15         cin >> t;
16         c[t]++;
17     }
18     for(int i = 1; i <= n; i++){
19         for(int x = 0; x < 3; x++){
20             for(int y = 0; y < 3; y++){
21                 for(int z = 0; z < 3; z++){
22                     if(x + y + z > c[i])continue;
23                     for(int t = 0; t < 3; t++)
24                         dp[i][x][y][z] = max(dp[i][x][y][z], dp[i-1][t][x][y] + z + (c[i]-x-y-z)/3);
25                 }
26             }
27         }
28     }
29     int ans;
30     for(int t = 0; t < 3; t++){
31         ans = max(ans, dp[n][t][0][0]);
32     }
33     cout << ans << endl;
34     return 0;
35 }

3.仔细观察上面的代码，我们发现在状态转移过程中，两个方程中都有[x][y]，状态之间的联系太过紧密，可以尝试优化一下

　如果建立dp[maxn][3][3]，少了一个维度，dp[i][x][y] 表示有x组[i-1,i,i+1],y组[i,i+1,i+2]时的最优结果，有dp[i][x][y] = max{dp[i-1][?][x] + y + (c[i] - ? - x - y)/3}

　AC代码：

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2
 3 using namespace std;
 4
 5 const int maxn = 1e6 + 5;
 6 int n;
 7 int c[maxn];
 8 int dp[maxn][3][3];
 9 int main(){
10     //freopen("data.in","r",stdin);
11     ios::sync_with_stdio(false);
12     cin.tie(0);
13     int cc,t;
14     cin >> cc >> n;
15     for(int i = 1; i <= cc; i++){
16         cin >> t;
17         c[t]++;
18     }
19     for(int i = 1; i <= n; i++){
20         for(int x = 0; x < 3; x++){
21             for(int y = 0; y < 3; y++){
22                 for(int z = 0; z < 3; z++){
23                     if(x + y + z > c[i])continue;
24                     dp[i][y][z] = max(dp[i][y][z], dp[i-1][x][y] + z + (c[i]-x-y-z)/3);
25                 }
26             }
27         }
28     }
29     int ans = dp[n][0][0];
30     cout << ans << endl;
31     return 0;
32 }

4.由于每一阶段的决策只与上一阶段有关，可以使用滚动数组进行进一步优化。

fanwenlin

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