显然，rfft2函数只是计算输入矩阵的离散fft。但是，如何解释输出的给定索引？给定输出的索引，我在看哪个傅里叶系数？
输出的大小让我特别困惑。对于n×n矩阵，输出似乎是n×(n/2)+1矩阵(对于偶数n)。为什么方形矩阵以非方形傅立叶变换结束？
最佳答案
numpy.fft.rfft2 的输出只是 numpy.fft.fft2 计算的标准二维FFT的左半部分(加一列)。不需要rfft2提供结果的右半部分，因为实际数组的FFT具有natural and simple symmetry，因此可以使用对称性从左半部分派(dispatch)生完整FFT的右半部分。
这是一个示例，以进行说明。首先，为了易于复制和查看，我将设置NumPy的随机状态和打印选项:
In [1]: import numpy as np
In [2]: np.set_printoptions(precision=3, suppress=True, linewidth=128)
In [3]: random = np.random.RandomState(seed=15206)
让我们创建一个包含6行6列的实际输入数组:
In [4]: x = random.randn(6, 6)
In [5]: x
Out[5]:
array([[ 1.577, 0.426, 0.322, -0.891, -0.793, 0.017],
[ 0.238, 0.603, -0.094, -0.087, -0.936, -1.139],
[-0.583, 0.394, 0.323, -1.384, 1.255, 0.457],
[-0.186, 0.687, -0.815, -0.54 , 0.762, -0.674],
[-1.604, -0.557, 1.933, -1.122, -0.516, -1.51 ],
[-1.683, -0.006, -1.648, -0.016, 1.145, 0.809]])
现在看一下完整的FFT(使用
fft2，而不是rfft2):In [6]: fft2_result = np.fft.fft2(x)
In [7]: fft2_result
Out[7]:
array([[ -5.834+0.j , 1.084-2.33j , -6.504-3.884j, 3.228-0.j , -6.504+3.884j, 1.084+2.33j ],
[ 1.475-3.311j, 1.865-3.699j, 2.777-0.095j, -2.570-1.152j, 4.705-3.373j, 4.555-3.657j],
[ 2.758+3.339j, -3.512+0.398j, 5.824-4.045j, 1.149-3.705j, 0.661-2.127j, 12.368+1.464j],
[ 1.326-0.j , 1.191-4.479j, -3.263+6.19j , 8.939-0.j , -3.263-6.19j , 1.191+4.479j],
[ 2.758-3.339j, 12.368-1.464j, 0.661+2.127j, 1.149+3.705j, 5.824+4.045j, -3.512-0.398j],
[ 1.475+3.311j, 4.555+3.657j, 4.705+3.373j, -2.570+1.152j, 2.777+0.095j, 1.865+3.699j]])
请注意，这里存在对称性:对于具有
i和j的任何索引0 <= i < 6和0 <= j < 6，fft2_result[i, j]是fft_result[-i, -j]的复共轭。例如:In [8]: fft2_result[2, 4]
Out[8]: (0.66075993512998199-2.127249005984857j)
In [9]: fft2_result[-2, -4].conj()
Out[9]: (0.66075993512998199-2.127249005984857j)
这意味着我们不需要包括输出的右半部分，因为它可以从左半部分派(dispatch)生。仅计算完整FFT的左半部分，就可以节省内存，甚至还可以节省一点时间。这就是
rfft2所做的:In [10]: rfft2_result = np.fft.rfft2(x)
In [11]: rfft2_result
Out[11]:
array([[ -5.834+0.j , 1.084-2.33j , -6.504-3.884j, 3.228+0.j ],
[ 1.475-3.311j, 1.865-3.699j, 2.777-0.095j, -2.570-1.152j],
[ 2.758+3.339j, -3.512+0.398j, 5.824-4.045j, 1.149-3.705j],
[ 1.326-0.j , 1.191-4.479j, -3.263+6.19j , 8.939-0.j ],
[ 2.758-3.339j, 12.368-1.464j, 0.661+2.127j, 1.149+3.705j],
[ 1.475+3.311j, 4.555+3.657j, 4.705+3.373j, -2.570+1.152j]])
请注意，
rfft2_result与fft2_result[:, :4]匹配，至少直到数字错误为止:In [12]: np.allclose(rfft2_result, fft2_result[:, :4])
Out[12]: True
通过使用
axes的np.fft.rfft2参数，我们还可以选择保留输出的上半部分而不是左半部分:In [13]: np.fft.rfft2(x, axes=[1, 0])
Out[13]:
array([[ -5.834+0.j , 1.084-2.33j , -6.504-3.884j, 3.228-0.j , -6.504+3.884j, 1.084+2.33j ],
[ 1.475-3.311j, 1.865-3.699j, 2.777-0.095j, -2.570-1.152j, 4.705-3.373j, 4.555-3.657j],
[ 2.758+3.339j, -3.512+0.398j, 5.824-4.045j, 1.149-3.705j, 0.661-2.127j, 12.368+1.464j],
[ 1.326+0.j , 1.191-4.479j, -3.263+6.19j , 8.939-0.j , -3.263-6.19j , 1.191+4.479j]])
正如
np.fft.rfftn的documentation所说，NumPy在指定的最后一个轴上执行实数FFT，并在其他轴上执行复数FFT。当然，
rfft2_result中仍然存在一些冗余:我们可以丢弃第一列的下半部分和最后一列的下半部分，并且仍然能够使用与以前相同的对称性来重构它们。并且[0, 0]，[0, 3]，[3, 0]和[3, 3]位置的条目都是真实的，因此我们可以丢弃它们的虚部。但这将给我们带来不太方便的数组表示形式。