假设采用严格的IEEE 754(无多余精度)并四舍五入到最接近的偶数模式，3*x+x是否总是== 4*x(因此在没有溢出的情况下精确)，为什么？
我无法展示一个反例，因此我对每种可能的尾随位模式abc和舍入情况进行了冗长的讨论，但我觉得我可能会错过一个情况，也错过了一个更简单的演示...
我也有一个直觉，可以将其扩展到(2^n-1) x + x == 2^n x，并且在这种情况下测试尾随位的每种组合都是不可行的。
只要n (2^n - 1) x == 2^n x - x，但是y-x+x == y通常不是真的。
最佳答案
在下面，code format中显示的数学是使用IEEE 754在最近舍入模式下计算的，并且非代码格式的数学是准确的。
令p为有效位数。
令f为正整数n的因子2n-1，并且可以精确表示(n≤p)。
令U(x)为x的ULP。对于正常值，U(x)≤21-px。
设为f*x。如果f*x是次正规的，则它恰好是fx。如果正常，则对于某些| e |，t = fx + e。 ≤½U(fx)≤2像素注意，如果| e |恰好是ULP的一半，则它必须等于所设置的x的最低位(因为否则e会设置一个以上的位，并且不能为ULP的一半)。
代入f，t =(2n-1)x + e。
t + x =(2n-1)x + e + x = 2nx + e。
考虑t+x。根据IEEE-754舍入取整法的要求，该值必须在t + x的ULP的½之内，我们知道这是2nx + e。显然2nx是可表示的(除非有溢出)，并且| e | ≤½U(fx)≤½U(2nx)。因此，除非| e |，否则t+x必须为2nx。恰好是ULP的一半，x的有效位数的低位是奇数(因为即使是低位也能赢得平局并给出2nx)。
如果n为1，则f为1，e为0。如果2≤n，则| e | ≤1/4 U(2nx)
因此，t+x必须为2nx。 (溢出和NaN留给读者练习。)
此外，我还针对IEEE-754 32位二进制浮点进行了详尽的测试。