python - 应如何重新调整fft点的大小，以获得与分析解决方案相同的结果？

我想使用numpy fft软件包进行快速傅立叶变换，然后尝试比较分析解决方案和快速傅立叶变换之间的结果，尽管我可以看到曲线图相似，显然比例是不同的。

我尝试了几种不同版本的频率（角频率，频率和波数），但是我的所有尝试均无效，并且在numpy文档中，尚不清楚如何精确定义快速傅立叶变换。例如，我想将指数函数及时进行傅立叶变换到角频域，f（t）= Exp（-a | t |），F（w）= a / pi *（a²+w² ）（此分析解决方案有多个版本，具体取决于我们正在考虑的频率空间）

def e(t):
    return np.exp(-0.5*abs(t))
def F(w):
    return 0.5/(np.pi)*(1/(((0.5)**2)+((w)**2)))

t=np.linspace(0,100,1000)

w=np.fft.fftfreq(len(t))
plt.plot(w,F(w),'o',label='F(w)')
plt.legend()
plt.show()

fourier=np.fft.fft(e(t))
plt.plot(w,fourier,'o')
plt.show()

我已经针对频率尝试了上述代码的多个不同变体，但我仍未达到fft和解析解决方案相似的地步。有人可以帮我吗？

最佳答案

Fourier transform可以应用于诸如np.exp(-0.5*abs(t))的可集成函数。但是Discrete Fourier Transform计算周期信号的傅立叶变换。请参见https://dsp.stackexchange.com/questions/26884/about-fourier-transform-of-periodic-signal和 What FFTW Really Computes。

因此，长度为T的帧的DFT对应于周期化帧的傅立叶变换。由于帧从0开始，因此计算了周期右侧指数衰减的傅立叶变换：

如您所见，功能np.exp(-0.5*abs(t))的一半没有显示。让我们对其进行校正，并添加两侧指数衰减的周期增加部分。
我使用频率作为参数：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

def e(t):
    return np.exp(-0.5*abs(t))
def F(w):
    return 0.5/(np.pi)*(1/(((0.5)**2)+((w)**2)))

def Fc(xi):
    #ok , that's sourced from https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform ... Square-integrable functions, one-dimensional, line 207
    return 2*0.5/(((0.5)**2)+(4*(np.pi*xi)**2))


framelength=100.
nbsample=1000
def ep(t):
    #the periodized negative part is added at the end of the frame.
    return np.maximum(np.exp(-0.5*abs(t)),np.exp(-0.5*abs(t-framelength)))

t=np.linspace(0,framelength,nbsample, endpoint=False)

#plotting the periodized signal, to see what's happening
ein=ep(t)
tp=np.linspace(0,10*framelength,10*nbsample, endpoint=False)
periodized=np.zeros(10*nbsample)
for i in range(10):
    for j in range(nbsample):
       periodized[i*nbsample+j]=ein[j]

plt.plot(tp,periodized,'k-',label='periodized frame')
plt.legend()
plt.show()

fourier=np.fft.fft(ep(t))/np.size(ep(t))*framelength

#comparing the mean is useful to check the overall scaling
print np.mean(ep(t))*framelength
print fourier[0]
print Fc(0)

#the frenquencies of the DFT of a frame of length T are 1/T, 2/T ... and negative for the second part of the array.
xi=np.fft.fftfreq(len(t), framelength/len(t))

# comparison between analytical Fourier transform and dft.
plt.plot(xi,Fc(xi),'o',label='F(xi)')
plt.plot(xi,np.real(fourier),'k-', lw=3, color='red', label='DTF')
plt.legend()
plt.show()

结果如下：



对于实验性非周期性信号，在帧周期化时会出现人为间断。它诱导spectral leakage和windows用于减弱不连续性及其影响。潜在的窗口之一（称为泊松窗口）是双向指数衰减！