c - 快速乘法模2 ^ 16 +1

IDEA密码使用乘法2^16 + 1模。是否有一种算法可以执行此操作而无需一般的模运算符(仅对2^16模(截断)求模)？在IDEA的上下文中，零被解释为2^16(这意味着零不是我们乘法的参数，并且它不可能是结果，因此我们可以保存一位并将值2^16存储为位模式0000000000000000)。我想知道如何在不使用标准模运算符的情况下有效地实现它(或根本不可能实现)。

最佳答案

您可以利用以下事实:(N-1)％N == -1。

因此，(65536 * a)％65537 == -a％65537。
另外，当将0解释为65536时，-a％65537 == -a + 1(mod 65536)

uint16_t fastmod65537(uint16_t a, uint16_t b)
{
    uint32_t c;
    uint16_t hi, lo;
    if (a == 0)
        return -b + 1;
    if (b == 0)
        return -a + 1;

    c = (uint32_t)a * (uint32_t)b;
    hi = c >> 16;
    lo = c;
    if (lo > hi)
        return lo-hi;
    return lo-hi+1;
}

唯一的问题是hi == lo，结果将为0。幸运的是，一个测试套件确认，它实际上不可能是...

int main()
{
    uint64_t a, b;
    for (a = 1; a <= 65536; a++)
       for (b = 1; b <= 65536; b++)
        {
            uint64_t c = a*b;
            uint32_t d = (c % 65537) & 65535;
            uint32_t e = m(a & 65535, b & 65535);
            if (d != e)
                printf("a * b % 65537 != m(%d, %d) real=%d m()=%d\n",
                       (uint32_t)a, (uint32_t)b, d, e);
        }
    }

输出:无