haskell - Haskell Hermite多项式实现

Haskell允许以非常简洁的方式表示递归函数。例如，包含斐波那契数的无限列表可以定义如下：

fibs :: [Integer]
fibs = 1 : 1 : zipWith (+) fibs (tail fibs)

我正在处理具有以下递归关系的“概率论者” Hermite多项式：



对于给定的x，构造第n个Hermite多项式的无限列表的最佳方法是什么？

最佳答案

我们可以这样写：

hermite :: (Enum n, Num n) => n -> [n]
hermite x = s
    where s@(_:ts) = 1 : x : zipWith3 (\hn2 hn1 n1 -> x*hn1 - n1*hn2) s ts [1..]

其中第一个项目1 : x : ...是hermite的第一个元素（您可以填写其他值）。

对于下一个，我们压缩原始值s（以H0开头），ts的尾部s（以H1开头）和索引（以2开头） ，3，...）并执行操作x*hn1 - x*hn2（nh1代表Hn-1，而nh2代表Hn-2），因此我们每次都计算下一个元素。

x = 0.75的前11个值是：

Prelude> take 11 (hermite 0.75)
[1.0,0.75,-0.4375,-1.828125,-5.859375e-2,7.2685546875,5.744384765625,-39.30303955078125,-69.68797302246094,262.1583366394043,823.8105096817017]

因此，第一个值为1，第二个x，第三个x*x-2，第四个x*x*x-2*x-3*x，依此类推。

话虽如此，如果我没记错的话，Hermite多项式的递归公式为：

Hn（x）= 2×x×Hn-1（x）-2×（n-1）Hn-2（x）

而不是问题中引用的内容。

在这种情况下，公式为：

hermite :: (Enum n, Num n) => n -> [n]
hermite x = s
    where s@(_:ts) = 1 : 2 * x : zipWith3 helper s ts [1..]
          helper hn2 hn1 n1 = 2 * (x * hn1 - n1 * hn2)

那么前11个值是：

Prelude> take 11 (hermite 0.75)
[1.0,1.5,0.25,-5.625,-9.9375,30.09375,144.515625,-144.3515625,-2239.74609375,-1049.994140625,38740.4384765625]

根据以下Wolfram article，这是正确的：


H0 = 1

H1 = 2 * x

H2 =4˙x2-2

H3 =8˙x3-4˙x

H4 =16˙x4-48˙x2+ 12


哪个与我们获得的值完全对应：

Prelude> let x = 0.75 in [1,2*x,4*x*x-2,8*x*x*x-4*x,16*x*x*x*x-48*x*x+12]
[1.0,1.5,0.25,0.375,-9.9375]