java - 范围内的XOR最大值？

给定一个NxN大小的矩阵行和列的编号从0到
N-1。第i行第j列包含i xor j。换句话说，
矩阵[i][j]=i^j其中0？你的任务是找到
矩阵中出现的最大值及其计数
发生。
我的方法是

(l..r).each do |i|
    (i..r).each do |j|
      if (i ^ j > max)
        max = i ^ j
      end
    end
  end

我看到这个代码，它说，根据每个人都不是二次的是在线性时间找到它。

public static void main(String[] args) throws Exception {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));

        long N;
        long max    = 1L;
        long count  = 1L;
        long bitN   ;
        StringBuilder sb  = new StringBuilder(4*T);


            line = br.readLine();
            N = Long.parseLong(line);
            {

                bitN    = 1L << getBits(N-1);
                max     = (bitN - 1);
                count   = (bitN == N) ? bitN :(N -(bitN>>1))<<1 ;

                sb.append(max);
                sb.append(" ");
                sb.append(count);
                sb.append("\n");
            }

        System.out.println(sb.toString());
    }

    private static int getBits(long x){
        int count = 0;
        while(x > 0){
            x = x>>1;
            count++;
        }
        return count;
    }
}

我不明白的是这到底是怎么回事

bitN    = 1L << getBits(N-1);
max     = (bitN - 1);
count   = (bitN == N) ? bitN :(N -(bitN>>1))<<1 ;

能够得到想要的结果。如果你们中有人能简单地告诉我这个算法的基本原理，这样我就能理解

最佳答案

制作一张N与max和count的对照表：

N   max   count   how
1     0       1   0^0
2     1       2   0^1, 1^0
3     3       2   1^2, 2^1
4     3       4   1^2, 2^1, 0^3, 3^0
5     7       2   3^4, 4^3
6     7       4   3^4, 4^3, 2^5, 5^2
7     7       6   3^4, 4^3, 2^5, 5^2, 1^6, 6^1
8     7       8   3^4, 4^3, 2^5, 5^2, 1^6, 6^1, 0^7, 7^0
9    15       2   7^8, 8^7
.
.

其模式是，当N超过2的幂时，max上升，count返回2。这是因为位模式如下所示：

3 = 0b011
4 = 0b100
.
.
7 = 0b0111
8 = 0b1000

bitN是0..N-1中任何位置的最低位集（因此bitN = 8时为N = 8，bitN = 16时为N = 9）。最大XOR的所有位都在bitN集合之下，这是借用小学减法的逻辑bitN - 1。每次N增加1时计数增加2，除非bitN也增加，当计数重置为2时除外。三元运算符在计算count时的目的是在特殊情况下N = 1；当N是两个的较大幂时，也使用左分支，但另一个也可以工作。