最近认真的研读了这篇关于降噪的论文。它是一种利用混合模型降噪的方法，即既利用了生成模型（MoG高斯模型），也利用了判别模型（神经网络NN模型）。本文根据自己的理解对原理做了梳理。
论文是基于“Speech Enhancement Using a Mixture-Maximum Model”提出的MixMAX模型的。假设噪声是加性噪声，干净语音为x(t)，噪声为y(t)，则在时域带噪语音z(t)可以表示为z(t) = x(t) + y(t)。对z(t)做短时傅里叶变换(STFT)得到Z(k)，再取对数谱（log-spectral）可得到Z(k表示对数谱的第k维，即对数谱的第k个频段（frequency bin）。若做STFT的样本有L个，则对数谱的维数是 L/2 + 1)。相应的可得到X和Y。MixMAX模型是指加噪后语音的每个频段上的值Z是对应的X和Y中的大值，即 = MAX(X, Y)。
语音x由音素组成，设定一个音素可用一个高斯表示。假设音素有m个，则干净语音的密度函数f(x)可以表示成下式：
f(x)表示第i个音素的密度函数。由于x是用多维的对数谱表示的，且各维向量之间相互独立，所以f(x)可以表示成各维向量的密度函数f(x)的乘积。各维的密度函数表示如下式：
μ表示这一维上的均值，δ表示这一维上的方差。c表示这个音素所占的权重，权重的加权和要为1。
噪声y只用一个高斯表示。同语音一样，y也是用多维的对数谱表示的，y的密度函数可以表示如下：
同样g(y)表示如下：
对于y每一维上的密度函数，其概率分布函数G(y)为：
其中erf()为误差函数，表示如下：
同理可求得干净语音中每个音素的每一维上的概率分布函数，如下式：
对于带噪语音Z来说，当语音音素给定时（即i给定时）其对数谱的第k维分量Z的分布函数H(z)可以通过下式求得：
上式就是求I = i时的条件概率。由于X和Y相互独立，就变成了X和Y的第k维向量上的分布函数的乘积。对Z的分布函数H(z)求导，就得到了的密度函数h(z)，表示如下：
所以z的密度函数h(z)通过下式求得：
带噪语音Z已知，我们的目标是要根据带噪语音估计出干净语音X，即求出Z已知条件下的X的条件期望。基于MMSE估计，X的条件期望/估计表示如下：
上式中X的条件期望又转换成了每个音素条件期望的加权和。条件概率q(i | Z = z)可根据全概率公式得到，如下：
对于每个音素的条件期望，表示如下：。对于每个音素的对数谱的每一维的条件期望，表示如下：
其中：
定义 ，可以推得x的对数谱的每一维上的估计如下式：
可以把用基于谱减的
替代，其中β表示消噪程度。ρ可以看成是干净语音的概率。所以
抵消掉正负项，可得：
上式就是求消噪后的语音的对数谱的每维向量的数学表达式。z可根据带噪语音求得，β要tuning，知道ρ后x的估计就可得到了。对得到的每维向量做反变换，可得到消噪后的时域的值。
上文已给出，其中p(I = i | Z = z)表示在Z已知下是每个音素可能的概率，或者说一帧带噪语音是每个音素的可能的概率，用p表示。p可以通过全概率公式求出，即
。但对每种语言来说，总的音素的个数是已知的（比如英语中有39个音素），这样求每帧是某个音素的概率是一个典型的分类问题。神经网络（NN）处理分类问题是优于传统方法的，所以可以用NN来训练一个模型，处理时用这个模型来计算每帧属于各个音素的概率，即算出p，再和ρ做乘累加（ρ用基于MOG模型的方法求出），就可得到ρ了（
）。有了ρ，x的估计就可求出了。可以看出NN模型的作用是替换计算p的传统方法，使计算p更准确。
干净语音的高斯模型并不是用常规的EM算法训练得到的，而是基于一个已做好音素标注的语料库得到的，论文作者用的是TIMIT库。每帧跟一个音素一一对应，把属于一个音素的所有帧归为一类，算对数谱的各个向量的值，最后求均值和方差，得到这个向量的密度函数表达式，均值和方差的计算如下式：
其中N表示属于某一音素的帧的个数。一个音素的所有向量的密度表达式相乘，就得到了这个音素的密度函数表达式。再通过属于这个音素的帧数占所有帧数的比例得到权重
（）， 这样干净语音的高斯模型就建立好了。
对于非稳态噪声来说，噪声参数（μ和δ）最好能自适应。噪声参数的初始值可以通过每句话的前250毫秒求得（基于前250毫秒都是噪声的假设），求法同上面的干净语音的高斯模型，数学表达式如下：
噪声参数的更新基于以下算式：
其中α为平滑系数，0 < α < 1，也需要tuning。噪声参数（μ和δ）更新了，G(y)和g(y)就更新了，h(z)也就更新了，从而ρ也更新了。
综上， 基于生成-判别混合模型的降噪算法如下：
1） 训练阶段
输入：
根据已标注好音素的语料库，得到对数谱向量z1,…zn（用于算MOG），MFCC向量v1,…,vn（用于NN训练）和每帧相对应的音素标签i1,…,in。
MoG 模型训练：
根据对数谱向量z1,…,zn算干净语音的MOG
NN模型训练：
根据(v1,i1),…(vn,…,in)训练一个基于音素的多分类模型
2） 推理阶段
输入：
带噪语音的对数谱向量以及MFCC向量
输出：
消噪后的语音
计算步骤：