P1063 能量项链
题目描述
在\(Mars\)星球上，每个\(Mars\)人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有\(N\)颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是\(Mars\)人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为\(m\)，尾标记为\(r\)，后一颗能量珠的头标记为r，尾标记为\(n\)，则聚合后释放的能量为\(m \times r \times n\)（\(Mars\)单位），新产生的珠子的头标记为\(m\)，尾标记为\(n\)。
需要时，\(Mars\)人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。
例如：设\(N=4\)，\(4\)颗珠子的头标记与尾标记依次为\((2,3) (3,5) (5,10) (10,2)\)。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作，\((j⊕k)\)表示第\(j,k\)两颗珠子聚合后所释放的能量。则第\(4\)、\(1\)两颗珠子聚合后释放的能量为：
\((4⊕1)=10 \times 2 \times 3=60\)。
这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为：
\(((4⊕1)⊕2)⊕3）=10 \times 2 \times 3+10 \times 3 \times 5+10 \times 5 \times 10=710\)。
输入格式
第一行是一个正整数\(N(4≤N≤100)\)，表示项链上珠子的个数。第二行是\(N\)个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过\(1000\)。第\(i\)个数为第\(i\)颗珠子的头标记\((1≤i≤N)\)，当\(i<N\)时，第\(i\)颗珠子的尾标记应该等于第\(i+1\)颗珠子的头标记。第\(N\)颗珠子的尾标记应该等于第\(1\)颗珠子的头标记。
至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。
输出格式
一个正整数\(E(E≤2.1 \times (10)^9)\)，为一个最优聚合顺序所释放的总能量。
输入输出样例
输入 #1
4
2 3 5 10
输出 #1
710
说明/提示
NOIP 2006 提高组 第一题
【思路】
区间DP
【题目分析】
先看题目
是能量项链
项链是什么
就是一个圈，一个环
所以这里面的最后一个是和第一个紧挨着的
这就需要特殊处理了
【处理圈】
怎么处理圈呢？
将这个链复制一下放在这个链的后面
那么n就可以和n+1合并起来了
这样用区间DP求出区间最大值
【核心思路】
到时候在比较一下以1-n那一个点作为开头
区间大小为n的区间长度最大
输出最大值就好了
因为把前面这个区间复制到了后面
所以比如从2开始到n+1
其实n+1就是1
所以原数是不会变化的
方向区间DP就可以
【提示】
还有一些小细节在代码里面
【完整代码】
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int Max = 204;
int a[Max];
int f[Max][Max];
int l[Max],r[Max];//记录一个点的头标记和尾标记对应的数
int main()
{
int n;
cin >> n;
for(register int i = 1;i <= n;++ i)
cin >> a[i],a[i + n] = a[i];
for(register int i = 1;i <= 2 * n;++ i)
l[i] = a[i],r[i] = a[i + 1];
for(register int i = 1;i <= 2 * n;++ i)
{
for(register int j = 1;j + i - 1 <= 2 * n;++ j)
{
int k = j + i - 1;
for(register int ll = j;ll < k;++ ll)
f[j][k] = max(f[j][k],f[j][ll] + f[ll + 1][k] + l[j] * r[ll] * r[k]);//原本的的值，和由j-ll和ll-k这两个区间合并起来之后的值哪一个更优
}
}
int M = 0;
for(register int i = 1;i <= n;++ i)
M = max(M,f[i][i + n - 1]);//比较以哪个开头更优
cout << M << endl;
return 0;
}