[AHOI2008]紧急集合 / 聚会

洛咕

题意:给定一棵\(n(n<=500000)\)个节点的树,每条边的长度都为\(1\),给出\(m(m<=500000)\)组询问,每组询问给出三个节点\(x,y,z\),求\(x,y,z\)到哪个节点集合时,三个点走的总路径长度之和最小?

分析:这题真的手玩样例就行了.这里给出我的两个猜想(一定是对的,不然我怎么AC这题,只是我不会证明):

1.树上任意三个节点,两两配对会产生3个LCA,其中至少有两个LCA是相同的.

2.若3个LCA都相同,集合点就是这个LCA;若只有2个LCA相同,集合点就是剩下的那个LCA.

以上都是手玩样例得出的结论.证明好像题解里面有.

确定了集合点之后,就计算三次 树上任意两点之间距离即可.

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#define ll long long
using namespace std;
inline int read(){
    int x=0,o=1;char ch=getchar();
    while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
    if(ch=='-')o=-1,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*o;
}
const int N=500005;
int n,m,dep[N],f[N][21],dis[N];
int tot,head[N],nxt[N<<1],to[N<<1];
inline void add(int a,int b){
    nxt[++tot]=head[a];head[a]=tot;to[tot]=b;
}
inline void dfs(int u,int fa){
    for(int j=1;j<=20;++j)
        f[u][j]=f[f[u][j-1]][j-1];
    for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){
        int v=to[i];if(v==fa)continue;
        f[v][0]=u;dis[v]=dis[u]+1;
        dep[v]=dep[u]+1;dfs(v,u);
    }
}
inline int LCA(int x,int y){
    if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
    for(int j=20;j>=0;--j)
        if(dep[f[x][j]]>=dep[y])x=f[x][j];
    if(x==y)return x;
    for(int j=20;j>=0;--j)
        if(f[x][j]!=f[y][j])x=f[x][j],y=f[y][j];
    return f[x][0];
}
inline int calc(int x,int y){return dis[x]+dis[y]-2*dis[LCA(x,y)];}
int main(){
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<n;++i){
        int a=read(),b=read();
        add(a,b);add(b,a);
    }
    dfs(1,0);
    while(m--){
        int x=read(),y=read(),z=read();
        int l1=LCA(x,y),l2=LCA(x,z),l3=LCA(y,z);
        if(!l1)l1=1;if(!l2)l2=1;if(!l3)l3=1;
        if(l1==l2&&l1==l3){
            printf("%d %d\n",l1,calc(x,l1)+calc(y,l1)+calc(z,l1));
            continue;
        }
        if(l1==l2){
            printf("%d %d\n",l3,calc(x,l3)+calc(y,l3)+calc(z,l3));
            continue;
        }
        if(l1==l3){
            printf("%d %d\n",l2,calc(x,l2)+calc(y,l2)+calc(z,l2));
            continue;
        }
        if(l2==l3){
            printf("%d %d\n",l1,calc(x,l1)+calc(y,l1)+calc(z,l1));
            continue;
        }
    }
    return 0;
}