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【GZOI 2019】特技飞行

Problem

Description

公元 \(9012\) 年，Z 市的航空基地计划举行一场特技飞行表演。表演的场地可以看作一个二维平面直角坐标系，其中横坐标代表着水平位置，纵坐标代表着飞行高度。

在最初的计划中，这 \(n\) 架飞机首先会飞行到起点 \(x = x_{st}\) 处，其中第 \(i\) 架飞机在起点处的高度为 \(y_{i,0}\)。它们的目标是终点 \(x = x_{ed}\) 处，其中第 \(i\) 架飞机在终点处的高度应为 \(y_{i,1}\)。因此，每架飞机可以看作坐标系中的一个点，它的航线是从 \((x_{st},y_{i,0})\) 出发、到 \((x_{ed},y_{i,1})\) 结束的一条线段，如下图所示。

这 \(n\) 架飞机同时出发且始终保持一定的对地速度。因此，对于任意两条交叉的航线（线段），对应的两架飞机必然会同时到达交点处——这就是它们进行特技表演的时刻。它们将会偏转机翼，展现以极近的距离「擦身而过」特技，然后继续保持各自的航线。

航空基地最近还研究了一种新的特技「对向交换」。当两架飞机到达交点处时，之前正在下降的那架立即转为执行抬升动作，之前正在上升的那架则执行一次空翻，两架飞机一上一下、机腹对机腹，同样以极近的距离经过交点，然后互相交换接下来的航线。

我们不必关心特技动作在物理上究竟是如何实现的，飞机仍然看作一个点，在两种特技动作下，航线的变化如下图所示（\(y_{i,1}'\) 表示交换航线后第 \(i\) 架飞机在终点的新高度）。容易发现，「对向交换」会使它们的航线变为折线，并保持它们在纵坐标上的相对顺序；而「擦身而过」会改变它们在纵坐标上的相对顺序。

现在，观看表演的嘉宾团提出了一个苛刻的要求——在终点 \(x = x_{ed}\) 处，按照高度排序，\(n\) 架飞机的相对顺序必须与 \(x = x_{st}\) 处的相对顺序一致。嘉宾团还给「对向交换」特技和「擦身而过」特技分别评定了难度系数 \(a\) 和 \(b\)，每次「对向交换」特技可以获得 \(a\) 的分数，每次「擦身而过」特技可以获得 \(b\) 的分数。

除此以外，嘉宾团共有 \(k\) 名成员，第 \(i\) 名成员会乘热气球停留在位置 \((p_i,q_i)\) 处，具有 \(r_i\) 的观测距离，可以观测到区域 \(|x - p_i| + |y - q_i| \le r_i\) 里的所有特技。
若某个交点处的特技被一名或多名嘉宾观测到，则可以获得 \(c\) 的额外加分。
注意：特技无论是否被观测到，均可以获得 \(a\) 或者 \(b\) 的得分。

下图是对本题第一幅图 \(4\) 条航线 \(4\) 个交点的一种满足要求的安排，包括 \(2\) 次「对向交换」、\(2\) 次「擦身而过」，\(3\) 项特技被观测到，得分 \(2a + 2b + 3c\)。为了方便观察，图中展现「对向交换」特技的交点稍稍有些分离。

在这次的剧情里，你成为了 Z 市航空基地的规划员，你可以决定在每个交点处是执行「对向交换」还是「擦身而过」。你被要求在保证嘉宾团要求的前提下，计算整个特技表演的可能得到的最低和最高分数。

Input Format

第一行包含六个非负整数 \(n,a,b,c,x_{st},x_{ed}\)，分别表示航线（线段）总数、「对向交换」特技的得分、「擦身而过」特技的得分、观测对表演的额外分、飞行起点的横坐标、飞行终点的横坐标。
第二行包含 \(n\) 个非负整数 \(y_{i,0}\)，其中第 \(i\) 个数表示第 \(i\) 条航线起点的纵坐标，保证按照从低到高的顺序给出，即 \(y_{i,0} < y_{i + 1,0}\)。
第三行包含 \(n\) 个非负整数 \(y_{i,1}\)，其中第 \(i\) 个数表示第 \(i\) 条航线终点的纵坐标。
第四行包含一个非负整数 \(k\)，表示嘉宾的数量。
接下来 \(k\) 行每行三个非负整数 \(p_i,q_i,r_i\)，分别表示第 \(i\) 名嘉宾所在位置的横、纵坐标与观测距离。

输入数据对于所有航线（线段）在直线 \(x = x_{st}\) 和 \(x = x_{ed}\) 之间的交点总数也有一些限制，详见「数据范围与提示」。

Output Format

输出只有一行，包含两个整数，表示整个特技飞行表演的可能得到的最低和最高分数，中间用一个空格隔开。

Sample

Input 1

4 1 2 3 1 6
1 2 3 4
4 1 3 2
2
3 3 1
5 2 2

Output 1

13 15

Input 2

10 73 28 13 0 100
2 9 16 25 29 34 43 46 52 58
8 25 35 52 41 5 16 3 19 48
5
46 40 1
37 27 5
67 34 1
65 28 4
29 38 1

Output 2

989 1619

Explainatioin for Input 1

该样例的航线就是题目描述的图中所画的情况，只是嘉宾所在的位置稍有不同。
最低得分的表演方案是在所有交点处均采用「对向交换」特技，得分 \(4a + 3c = 13\)。
最高得分的表演方案与题目描述的图中所画的情况一致，得分 \(2a + 2b + 3c = 15\)。

Range

不存在三条或三条以上的线段交于同一点。
所有坐标和 \(r_i\) 均为 \(5 \times 10^7\) 以内的非负整数。
\(y_{i,0} < y_{i + 1,0}\)，\(y_{i,1}\) 各不相同。
\(x_{st} < p_i < x_{ed},1 ≤ a,b,c ≤ 10^3\)。
|测试点编号|\(n,k\) 的规模|交点数的规模|约定|
|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|
|\(1\)|\(n,k \le 15\)|\(\le 40\)|无|
|\(2\)|\(n,k \le 15\)|\(\le 40\)|无|
|\(3\)|\(n,k \le 15\)|\(\le 40\)|无|
|\(4\)|\(n,k \le 15\)|\(\le 40\)|无|
|\(5\)|\(n \le 30.000,k \le 100\)|\(\le 200,000\)|无|
|\(6\)|\(n \le 30.000,k \le 100\)|\(\le 200,000\)|无|
|\(7\)|\(n \le 30.000,k \le 100\)|\(\le 200,000\)|无|
|\(8\)|\(n \le 30.000,k \le 100\)|\(\le 200,000\)|无|
|\(9\)|\(n,k \le 100,000\)|\(\le 500,000\)|\(a = b\)|
|\(10\)|\(n,k \le 100,000\)|\(\le 500,000\)|\(a = b\)|
|\(11\)|\(n,k \le 100,000\)|\(\le 500,000\)|\(a = b\)|
|\(12\)|\(n,k \le 100,000\)|\(\le 500,000\)|\(a = b\)|
|\(13\)|\(n,k \le 50,000\)|\(\le 250,000\)|无|
|\(14\)|\(n,k \le 50,000\)|\(\le 250,000\)|无|
|\(15\)|\(n,k \le 50,000\)|\(\le 250,000\)|无|
|\(16\)|\(n,k \le 50,000\)|\(\le 250,000\)|无|
|\(17\)|\(n,k \le 100,000\)|\(\le 500,000\)|无|
|\(18\)|\(n,k \le 100,000\)|\(\le 500,000\)|无|
|\(19\)|\(n,k \le 100,000\)|\(\le 500,000\)|无|
|\(20\)|\(n,k \le 100,000\)|\(\le 500,000\)|无|

Algorithm

向量，扫描线

Mentality

考场上打的全是麻烦的算法 .jpg 。

\(step1:\)

首先发现，由于交点数不多，显然先求交点。对于两条线段，它们相交当且仅当左端点纵坐标的大小关系和右端点相反。

由于题目按照左端点纵坐标单调递增给出，直接用一个 \(set\) 维护已给出的右端点纵坐标集合，对于新线段暴力扫一遍 \(set\) 中的线段，看是否相交。

求交点其实很简单，利用斜率就好了。

奈何我选择了叉积 \((???)\)，我也觉得自己挺迷的。

\(step2:\)

对于每个嘉宾，直接将嘉宾和交点坐标转换成切比雪夫意义下的坐标，二维数点即可。

这里使用扫描线二维数点。

\(step3:\)

接下来剩下的是翻折操作。

不难发现，由于 \(a,b\) 有明确的大小关系，所以两个极端答案肯定是尽量多选 \(a\) 和尽量少选 \(a\) 。

对于尽量多选 \(a\) ，也就是翻折操作，我们发现其实可以所有操作全部翻折，最后到右边之后，一定会是有序的。

这个有两种理解方式：

一、交点数等价于逆序对数，一次翻折就相当于扭回去了一对逆序对，当我们将所有逆序对都扭回去之后，序列不存在逆序对，即结果有序。

二、题面中有提到：一次翻折操作会使两架飞机仍保持相对位置不变。那么我们每次都进行翻折，始终不会有任意两架飞机交换位置，所以最后结果有序。

对于尽量少选 \(a\) ，我们将每个飞机 \(i\) 和它的目的地 \(p_i\) 相连，就会得到一张只存在简单环的图。

不难发现，对于一个环，设其中元素分别为 \(a_1\sim a_n\) 它的形式如下：

\(\forall_{i=1}^{n-1}p_{a_i}=a_{i+1}\)

\(p_{a_n}=a_1\)

由于交换元素仅针对逆序对，所以要将环整体位移一位最少也就需要环长减一的次数。

所以 \(a\) 的最少选择次数为所有环的环长减一之和。

没了。

Code

考场的时候脑子比较乱，代码也就打得长了。我也不知道我为什么码出了 \(5k\)

#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <set>
using namespace std;
#define LL long long
#define go(x, i, v) for (int i = hd[x], v = to[i]; i; v = to[i = nx[i]])
#define inline __inline__ __attribute__((always_inline))
inline LL read() {
  LL x = 0, w = 1;
  char ch = getchar();
  while (!isdigit(ch)) {
    if (ch == '-') w = -1;
    ch = getchar();
  }
  while (isdigit(ch)) {
    x = (x << 3) + (x << 1) + ch - '0';
    ch = getchar();
  }
  return x * w;
}
const int Max_n = 1e5 + 5;
int n, a, b, c, K, ans;
int cnt, cc;
LL Ans1, Ans2;
double xs, xe, ys[Max_n], ye[Max_n];
struct dots {
  double x, y;
} k[Max_n * 5];
struct xl {
  double x, y;
  double operator*(const xl &b) { return x * b.y - b.x * y; }
};
set<pair<double, double> > s;
set<pair<double, double> >::iterator it;
inline bool cmp(dots a, dots b) { return a.x == b.x ? a.y < b.y : a.x < b.x; }
inline void part1() {
  n = read(), a = read(), b = read(), c = read(), xs = read(), xe = read();
  for (int i = 1; i <= n; i++) ys[i] = read();
  double D = xe - xs;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    ye[i] = read();
    it = s.end();
    if (s.size()) it--;
    while ((*it).first > ye[i] && it != s.begin()) {
      cnt++;
      xl d1 = (xl){-D, ys[i] - (*it).first}, d2 = (xl){0, ye[i] - (*it).first};
      double S1 = abs(d1 * d2);
      d1 = (xl){D, ye[i] - (*it).second}, d2 = (xl){0, ys[i] - (*it).second};
      double S2 = abs(d1 * d2);
      double K = S2 / (S1 + S2), D1 = (*it).first - (*it).second;
      k[cnt].x = xs + D * K, k[cnt].y = (*it).second + K * D1;
      it--;
    }
    if (it == s.begin())
      if ((*it).first > ye[i]) {
        cnt++;
        xl d1 = (xl){-D, ys[i] - (*it).first},
           d2 = (xl){0, ye[i] - (*it).first};
        double S1 = abs(d1 * d2);
        d1 = (xl){D, ye[i] - (*it).second}, d2 = (xl){0, ys[i] - (*it).second};
        double S2 = abs(d1 * d2);
        double K = S2 / (S1 + S2), D1 = (*it).first - (*it).second;
        k[cnt].x = xs + D * K, k[cnt].y = (*it).second + K * D1;
      }
    s.insert(make_pair(ye[i], ys[i]));
  }
  for (int i = 1; i <= cnt; i++) {
    double X = k[i].x, Y = k[i].y;
    k[i].x = X + Y, k[i].y = X - Y;
  }
  sort(k + 1, k + cnt + 1, cmp);
}
double z[Max_n << 4];
int C[Max_n << 3];
int cntr, hd[Max_n], nx[Max_n << 1], to[Max_n << 1];
struct que {
  double pos;
  double l, r, L, R;
  int id, t;
} q[Max_n << 3];
struct person {
  double x, y, r;
} p[Max_n];
inline bool cmp2(que a, que b) {
  return a.pos == b.pos ? a.t < b.t : a.pos < b.pos;
}
inline void add(int k, int x) {
  for (int i = k; i <= cc; i += i & -i) C[i] += x;
}
inline int query(int k) {
  int ans = 0;
  for (int i = k; i; i -= i & -i) ans += C[i];
  return ans;
}
inline void part2() {
  K = read();
  for (int i = 1; i <= K; i++) {
    p[i].x = read(), p[i].y = read(), p[i].r = read();
    double X = p[i].x, Y = p[i].y;
    p[i].x = X + Y, p[i].y = X - Y;
  }
  int Cnt = 0;
  for (int i = 1; i <= K; i++) {
    Cnt++;
    q[Cnt].l = p[i].x - p[i].r, q[Cnt].r = p[i].x + p[i].r;
    q[Cnt].L = p[i].y - p[i].r, q[Cnt].R = p[i].y + p[i].r;
    q[Cnt].t = 1, q[Cnt + 1] = q[Cnt], q[Cnt + 1].t = 3;
    q[Cnt].pos = q[Cnt].l, q[++Cnt].pos = q[Cnt].r;
    z[++cc] = q[Cnt].L, z[++cc] = q[Cnt].R;
    q[Cnt].id = q[Cnt - 1].id = i;
  }
  for (int i = 1; i <= cnt; i++) {
    Cnt++, q[Cnt].pos = k[i].x, q[Cnt].l = k[i].y, q[Cnt].t = 2;
    z[++cc] = q[Cnt].l;
  }
  sort(q + 1, q + Cnt + 1, cmp2);
  sort(z + 1, z + cc + 1);
  for (int i = 1; i <= Cnt; i++) {
    if (q[i].t == 1) {
      int x = lower_bound(z + 1, z + cc + 1, q[i].R) - z;
      int y = lower_bound(z + 1, z + cc + 1, q[i].L) - z;
      add(y, 1), add(x + 1, -1);
    }
    if (q[i].t == 3) {
      int x = lower_bound(z + 1, z + cc + 1, q[i].R) - z;
      int y = lower_bound(z + 1, z + cc + 1, q[i].L) - z;
      add(y, -1), add(x + 1, 1);
    }
    if (q[i].t == 2) {
      int x = lower_bound(z + 1, z + cc + 1, q[i].l) - z;
      if (query(x)) ans++;
    }
  }
  Ans1 += 1ll * ans * c, Ans2 += 1ll * ans * c;
  Ans1 += 1ll * a * cnt;
}
int num[Max_n], P[Max_n];
int top, tim, dfn[Max_n], low[Max_n], vis[Max_n], stk[Max_n];
int size[Max_n], bel[Max_n], cir;
bool cmp3(int a, int b) { return ye[a] < ye[b]; }
void addr(int u, int v) {
  cntr++;
  nx[cntr] = hd[u], to[cntr] = v;
  hd[u] = cntr;
}
void dfs(int x) {
  stk[++top] = x, dfn[x] = low[x] = ++tim, vis[x] = 1;
  go(x, i, v) if (!vis[v]) dfs(v), low[x] = min(low[x], low[v]);
  else if (vis[v] == 1) low[x] = min(low[x], dfn[v]);
  if (dfn[x] == low[x]) {
    cir++;
    while (stk[top] != x)
      bel[stk[top]] = cir, size[cir]++, vis[stk[top--]] = -1;
    top--, bel[x] = cir, size[cir]++;
  }
}
void part3() {
  for (int i = 1; i <= n; i++) num[i] = i;
  sort(num + 1, num + n + 1, cmp3);
  for (int i = 1; i <= n; i++) addr(num[i], i), addr(i, num[i]);
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    if (!dfn[i]) dfs(i);
  int tot = 0;
  for (int i = 1; i <= cir; i++) tot += size[i] - 1;
  Ans2 += 1ll * tot * a + 1ll * (cnt - tot) * b;
}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
  freopen("trick.in", "r", stdin);
  freopen("trick.out", "w", stdout);
#endif
  part1();
  part2();
  part3();
  if (Ans1 > Ans2) swap(Ans1, Ans2);
  cout << Ans1 << " " << Ans2;
}
01-19 07:45
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