洛谷 P2568 GCD（莫比乌斯反演）

题意：$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[gcd(i,j)\epsilon prime]$。

对于这类题一般就是枚举gcd，可得：

=$\sum_{d\epsilon prime}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[gcd(i,j)==d]$

=$\sum_{d\epsilon prime}\sum_{i=1}^{{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor}}\mu(i){\lfloor \frac{n}{id}\rfloor}{\lfloor \frac{n}{id}\rfloor}$

预处理素数，莫比乌斯前缀和，后面部分整除分块。

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1e7+5;
bool p[N];
int pri[N],mu[N],tot;
void init() {
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++) {
        if(!p[i]) pri[tot++]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=0;j<tot&&i*pri[j]<N;j++) {
            p[i*pri[j]]=true;
            if(i%pri[j]==0) {
                mu[i*pri[j]]=0;
                break;
            }
            else mu[i*pri[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<N;i++) mu[i]+=mu[i-1];
}
ll cal(int n) {
    ll ans=0;
    for(int l=1,r;l<=n;l=r+1) {
        r=n/(n/l);
        ans+=1LL*(mu[r]-mu[l-1])*(n/l)*(n/l);
    }
    return ans;
}
int main() {
    init();
    int n;
    scanf("%d",&n);
    ll ans=0;
    for(int i=0;i<tot&&pri[i]<=n;i++) {
        ans+=cal(n/pri[i]);
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}