https://loj.ac/problem/10019

题目描述

  有一个M层的生日蛋糕,它的体积为Nπ,它每层的半径随层数增加而增加,我们要在蛋糕外表面(出最后一层底面外)涂抹奶油,求蛋糕上涂抹奶油的面积最小为多少。输出Q表示涂抹面积为Qπ。

思路

   dfs的剪枝主要包括5类,优化搜索顺序,排除等效冗余,可行性剪枝,最优性剪枝,记忆化。

  这道题我们主要运用前四个剪枝。

  1、上下界剪枝

    当我们递归到第dep层时,我们只需要从以下范围枚举

    先枚举R∈[ dep , min{,r[ dep + 1] - 1}]

    再枚举H∈[ dep , min{/R,r[ dep + 1] - 1}]

    这里R和H的下界是比较显然的,而上界都可以由公式πRH = π(N - v)得到

  2、优化搜索顺序

    这是这道题最重要的优化,虽然简单,却大大提高了搜索效率。在loj上测试,正序搜索总时间1300ms+,倒序搜索总时间9ms。

    倒序搜索可以快速得到较优解,从而结合其他剪枝避免了次优解的过多更新,但这里的严谨证明很复杂,作为OIer我们可以通过造数据来测试哪一种搜索

  顺序更快。

  3、可行性剪枝

    我们可以预处理出还剩下dep层的最小体积minv[dep],这样就有了以下剪枝:

    minv[ dep ] + v>N 直接return

  4、最优性剪枝

    ①与可行性剪枝类似,我们可以预处理出还剩下dep层的最小表面积mins,如果mins[dep] + s>ans,可以return。

    ②这个剪枝就比较复杂,需要一定的数学推导

     首先利用h和r数组,1~dep-1的体积可表示为:

                                     

      同时,1~dep-1层的表面积可表示为:

                            

      而显然我们可以得到

                    

      由于对于任意k∈[ 1, dep - 1],r [ k ]都大于r [ dep ],所以:

                    

      而后面的求和公式即为我们上面提到的N - v,所以联立可得:

                    

     所以当这个值加目前的表面积s大于ans时可以剪枝。

     这个剪枝的效率也相当高,未加此剪枝时间1350ms+。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,ans=0x7fffffff;
int mins[30],minv[30];
bool check1(int d,int s)
{
    if(mins[d]+s>ans)return 1;
    return 0;
}
bool check2(int d,int v)
{
    if(minv[d]+v>n)return 1;
    return 0;
}
void dfs(int dep,int s,int v,int r,int h)
{
    if(dep==0)
    {
        if(v==n&&s<ans)ans=s;
        return ;
    }
    if(check1(dep,s)||check2(dep,v))return ;
    if(2*(n-v)/r+s>ans)return ;
    for(int R=min((int)sqrt(n-v),r-1);R>=dep;R--)
    {
        if(dep==m)s=R*R;
        for(int H=min((int)(n-v)/(R*R),h-1);H>=dep;H--)
//            cout<<H<<' '<<R<<endl;
            dfs(dep-1,s+2*R*H,v+R*R*H,R,H);
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        mins[i]=mins[i-1]+2*i*i;
        minv[i]=minv[i-1]+i*i*i;
    }
//    for(int i=1;i<=m;i++)
//        printf("%d %d\n",mins[i],minv[i]);
    dfs(m,0,0,n+1,n+1);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}
02-12 07:23