P2746 [USACO5.3]校园网Network of Schools

https://www.luogu.org/problem/P2746

题目描述

一些学校连入一个电脑网络。那些学校已订立了协议：每个学校都会给其它的一些学校分发软件（称作“接受学校”）。注意即使 B 在 A 学校的分发列表中， A 也不一定在 B 学校的列表中。

你要写一个程序计算，根据协议，为了让网络中所有的学校都用上新软件，必须接受新软件副本的最少学校数目（子任务 A）。更进一步，我们想要确定通过给任意一个学校发送新软件，这个软件就会分发到网络中的所有学校。为了完成这个任务，我们可能必须扩展接收学校列表，使其加入新成员。计算最少需要增加几个扩展，使得不论我们给哪个学校发送新软件，它都会到达其余所有的学校（子任务 B）。一个扩展就是在一个学校的接收学校列表中引入一个新成员。

输入格式

输入文件的第一行包括一个整数 N：网络中的学校数目（2 <= N <= 100）。学校用前 N 个正整数标识。

接下来 N 行中每行都表示一个接收学校列表（分发列表）。第 i+1 行包括学校 i 的接收学校的标识符。每个列表用 0 结束。空列表只用一个 0 表示。

输出格式

你的程序应该在输出文件中输出两行。

第一行应该包括一个正整数：子任务 A 的解。

第二行应该包括子任务 B 的解。

输入输出样例

输入 #1复制

输出 #1复制

1
2

思路

首先用Tarjan算法对该有向图的SCC进行缩点，构成一个DAG图。

那么由于DAG图中不存在环，那么每一条链必然存在一个唯一的入度为0的点。

显然，对于每一条链，只需要把软件发给这个入度为0的点，就可以传给这条链上的所有的点。

因此，任务A就转化为求缩点后的DAG图有多少个入度为0的节点，

接下来看任务B：

只要图中存在入度为0的点和出度为0的节点就不可能满足：

“不论我们给哪个学校发送新软件，它都会到达其余所有的学校”

我们还发现，只要入度为0的节点和出度为0的节点之间连一条边，就可以消掉2个不合法的点，

如果不能做到刚好两两配对（不妨假设入度为0的点多），就给每个多出来的入度为0的点随便找一个出度为0的点配对（也就是说一个点可以同时配多个点）。因此，入度为0的点数与出度为0的点数的较大值即为任务B的答案。

注意：当只有一个SCC的时候，要特判答案为1和0

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#include <vector>
#include <iomanip>
#define ALL(x) (x).begin(), (x).end()
#define sz(a) int(a.size())
#define rep(i,x,n) for(int i=x;i<n;i++)
#define repd(i,x,n) for(int i=x;i<=n;i++)
#define pii pair<int,int>
#define pll pair<long long ,long long>
#define gbtb ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0)
#define MS0(X) memset((X), 0, sizeof((X)))
#define MSC0(X) memset((X), '\0', sizeof((X)))
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define eps 1e-6
#define gg(x) getInt(&x)
#define chu(x) cout<<"["<<#x<<" "<<(x)<<"]"<<endl
#define du3(a,b,c) scanf("%d %d %d",&(a),&(b),&(c))
#define du2(a,b) scanf("%d %d",&(a),&(b))
#define du1(a) scanf("%d",&(a));
using namespace std;
typedef long long ll;
ll gcd(ll a, ll b) {return b ? gcd(b, a % b) : a;}
ll lcm(ll a, ll b) {return a / gcd(a, b) * b;}
ll powmod(ll a, ll b, ll MOD) {a %= MOD; if (a == 0ll) {return 0ll;} ll ans = 1; while (b) {if (b & 1) {ans = ans * a % MOD;} a = a * a % MOD; b >>= 1;} return ans;}
void Pv(const vector<int> &V) {int Len = sz(V); for (int i = 0; i < Len; ++i) {printf("%d", V[i] ); if (i != Len - 1) {printf(" ");} else {printf("\n");}}}
void Pvl(const vector<ll> &V) {int Len = sz(V); for (int i = 0; i < Len; ++i) {printf("%lld", V[i] ); if (i != Len - 1) {printf(" ");} else {printf("\n");}}}

inline void getInt(int *p);
const int maxn = 100010;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
/*** TEMPLATE CODE * * STARTS HERE ***/
int From[maxn], Laxt[maxn], To[maxn << 2], Next[maxn << 2], cnt;
int low[maxn], dfn[maxn], times, q[maxn], head, scc_cnt, scc[maxn];
bool inst[maxn];
vector<int>G[maxn];
void add(int u, int v)
{
    Next[++cnt] = Laxt[u]; From[cnt] = u;
    Laxt[u] = cnt; To[cnt] = v;
}
void tarjan(int u)
{
    dfn[u] = low[u] = ++times;
    q[++head] = u;
    inst[u] = 1;
    for (int i = Laxt[u]; i; i = Next[i]) {
        if (!dfn[To[i]]) {
            tarjan(To[i]);
            low[u] = min(low[u], low[To[i]]);
        } else if (inst[To[i]]) {
            low[u] = min(low[u], dfn[To[i]]);
        }
    }
    if (low[u] == dfn[u]) {
        scc_cnt++;
        while (true) {
            int x = q[head--];
            scc[x] = scc_cnt;
            inst[x] = 0;
            if (x == u) { break; }
        }
    }
}
void init()
{
    memset(Laxt, 0, sizeof(Laxt));
    cnt = 0;
}
int in[maxn];
int out[maxn];
set<int> st[maxn];
int main()
{
    init();
    int N, M, u, v, i, j;
    scanf("%d", &N);
    for (i = 1; i <= N; i++) {
        int x;
        while (~scanf("%d", &x)) {
            if (!x) {
                break;
            } else {
                add(i, x);
            }
        }
    }

    repd(i, 1, N)
    if (!dfn[i]) {
        tarjan(i);
    }
    for (i = 1; i <= N; i++) {
        for (j = Laxt[i]; j; j = Next[j]) {
            if (scc[i] != scc[To[j]]) {
                out[scc[i]]++;
                in[scc[To[j]]]++;
                st[scc[i]].insert(scc[To[j]]);
            }
        }
    }
    int ans1 = 0;
    int ans2 = 0;
    int cnt1 = 0;
    int cnt2 = 0;
    repd(i, 1, scc_cnt) {
        if (out[i] == 0) {
            cnt1++;
        }
        if (in[i] == 0) {
            ans1++;
            cnt2++;
        }
    }
    if (scc_cnt == 1) {
        cout << 1 << endl << 0 << endl;
        return 0;
    }
    ans2 = max(cnt2, cnt1);
    cout << ans1 << endl << ans2 << endl;
    return 0;
}

inline void getInt(int *p)
{
    char ch;
    do {
        ch = getchar();
    } while (ch == ' ' || ch == '\n');
    if (ch == '-') {
        *p = -(getchar() - '0');
        while ((ch = getchar()) >= '0' && ch <= '9') {
            *p = *p * 10 - ch + '0';
        }
    } else {
        *p = ch - '0';
        while ((ch = getchar()) >= '0' && ch <= '9') {
            *p = *p * 10 + ch - '0';
        }
    }
}

学校

洛谷 P2746 [USACO5.3]校园网Network of Schools （Tarjan，SCC缩点，DAG性质）

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