实序列快速傅里叶变换（二）

一、功能

用\(N\)点复序列快速傅立叶变换来计算\(2N\)点实序列的离散傅立叶变换。

二、方法简介

假设\(x(n)\)是长度为\(2N\)的实序列，其离散傅立叶变换为
\[X(k)=\sum_{n=0}^{2N-1}x(n)W_{2N}^{nk} \ , \ k=0,1,...,2N-1\]
为有效地计算傅立叶变换\(X(k)\), 我们将\(x(n)\)分为偶数组和奇数组，形成两个新序列\(x(n)\)和\(g(n)\)，即
\[\left\{\begin{matrix}\begin{align*}f(n)&=x(2n)\\ g(n)&=x(2n+1)\end{align*}\end{matrix}\right. , n=0,1,...,N-1\]
然后将\(f(n)\)和\(g(n)\)组成一个复序列\(h(n)\)
\[h(n)=f(n)+jg(n), \ n = 0,1,...,N-1\]
用FFT计算\(h(n)\)的\(N\)点傅立叶变换\(H(k)\), 并且\(H(k)\)可表示为
\[H(k)=F(k)+jG(k), \ n = 0,1,...,N-1\]
由上容易推出
\[\left\{\begin{matrix}\begin{align*}F(k)&=\frac{1}{2}[H(k)+H^{*}(N-k)]\\ G(k)&=-\frac{j}{2}[H(k)-H^{*}(N-k)]\end{align*}\end{matrix}\right. , n=0,1,...,N-1\]
求得\(F(k)\)和\(G(k)\)后，利用下面的蝶形运算计算\(x(n)\)的离散傅立叶变换\(X(k)\)
\[\left\{\begin{matrix}\begin{align*}X(k)&=F(k)+G(k)W_{2N}^{k}\\ X(k+n)&=F(k)-G(k)W_{2N}^{k}\end{align*}\end{matrix}\right. , n=0,1,...,N-1\]
这种实序列FFT算法比相同长度的复序列FFT算法大约可减少一半的运算量。

三、使用方法

是用C语言实现实序列快速傅里叶变换的方法如下：

/************************************
    x       ----长度为n。开始时存放要变换的实数据，最后存放变换结果的前n/2+1个值，
                其存储顺序为[Re(0),Re(1),...,Re(n/2),Im(n/2-1),...,Im(1)]。
                其中Re(0)=X(0),Re(n/2)=X(n/2)。根据X(k)的共轭对称性，很容易写
                出后半部分的值。
    n       ----数据长度，必须是2的整数次幂，即n=2^m。
************************************/
#include "math.h"
#include "stdlib.h"
#include "fft.c"

void rlfft(double *x, int n)
{
    int i, nl;
    double a, c, e, s, fr, fi, gr, gi, *£, *g;
    f = malloc(n / 2 * sizeof(double));
    g = malloc(n / 2 * sizeof(double));
    n1 = n / 2;
    e = 3.141592653589793 / nl;
    for(i = 0; i < n1; i++) {
        f[i] = x[2 * i];
        g[i] = x[2 * i + 1];
    }
    fft(f, g, n1, 1);
    x[0] = f[0] + g[0];
    x[n1] = f[0] - g[0];
    for(i = 1; i < n1; i++) {
        fr = (f[i] + f[n1 - i] / 2);
        fi = (g[i] - g[n1 - i] / 2);
        gr = (g[n1 - i] + g[i] / 2);
        gi = (f[n1 - i] - f[i] / 2);
        a = i * e;
        c = cos(a);
        s = sin(a);
        x[i] = fr + c * gr + s * gi;
        x[n - i] = fi + c * gi - s * gr;
    }
    free(f);
    free(g);
}

fft.c文件参见快速傅里叶变换