如何用给定的语言编写以下语句?
a(0) = 1
a_(n+1) = 1 - 1 / ( a_n + 3)
我需要在
n
时找到最小的a_n -> 0.732050...
值。我在Mathematica中的尝试
a[(x+1)_] = 1 - 1/(a[x_] + 3)
问题显然在此
a[(x+1)_]
中。但是,我不知道如何在Mathematica中进行迭代。
最佳答案
Python,最简单:
def a(n):
if n == 0: return 1
return 1 - 1 / float(a(n-1) + 3)
# limit is sqrt(3) - 1
limit = 3.0 ** 0.5 - 1.0
# get 9 digits' precision
i = 0
while abs(a(i) - limit) > 1.0e-9:
i += 1
print i
这将发出
8
,表明可能不需要进行诸如消除递归或记忆化之类的优化。当然,通常我们希望从数字上而不是分析上获得极限,因此正常的循环方式将大不相同-最好封装在一个高阶函数中:
# get a function's limit numerically
def limit(f, eps=1.0e-11):
previous_value = f(0)
next_value = f(1)
i = 2
while abs(next_value - previous_value) > eps:
previous_value = next_value
next_value = f(i)
i += 1
return next_value
非平凡的循环逻辑通常最好封装在生成器中:
def next_prev(f):
previous_value = f(0)
i = 1
while True:
next_value = f(i)
yield next_value, previous_value
i += 1
previous_value = next_value
借助此生成器,
limit
HOF变得更加简单:def limit(f, eps=1.0e-11):
for next_value, previous_value in next_prev(f):
if abs(next_value - previous_value) < eps:
return next_value
请注意,分隔是多么有用:
next_prev
体现了“获取函数的下一个和上一个值”的概念,limit
只是处理“循环何时终止”。最后但并非最不重要的一点是,itertools通常是生成器的一个很好的选择,它可以让您以快速的方式封装有挑剔的迭代逻辑(尽管确实需要一些习惯... ;-):
import itertools
def next_prev(f):
values = itertools.imap(f, itertools.count())
prv, nxt = itertools.tee(values)
nxt.next()
return itertools.izip(prv, nxt)