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2.3 梯度下降
2.3.1 从自然现象中理解梯度下降
在大多数文章中，都以“一个人被困在山上，需要迅速下到谷底”来举例，这个人会“寻找当前所处位置最陡峭的地方向下走”。这个例子中忽略了安全因素，这个人不可能沿着最陡峭的方向走，要考虑坡度。
在自然界中，梯度下降的最好例子，就是泉水下山的过程：
- 水受重力影响，会在当前位置，沿着最陡峭的方向流动，有时会形成瀑布（梯度下降）；
- 水流下山的路径不是唯一的，在同一个地点，有可能有多个位置具有同样的陡峭程度，而造成了分流（可以得到多个解）；
- 遇到坑洼地区，有可能形成湖泊，而终止下山过程（不能得到全局最优解，而是局部最优解）。
2.3.2 梯度下降的数学理解
梯度下降的数学公式：
\[\theta_{n+1} = \theta_{n} - \eta \cdot \nabla J(\theta) \tag{1}\]
其中：
- \(\theta_{n+1}\)：下一个值；
- \(\theta_n\)：当前值；
- \(-\)：减号，梯度的反向；
- \(\eta\)：学习率或步长，控制每一步走的距离，不要太快以免错过了最佳景点，不要太慢以免时间太长；
- \(\nabla\)：梯度，函数当前位置的最快上升点；
- \(J(\theta)\)：函数。
梯度下降的三要素
- 当前点；
- 方向；
- 步长。
为什么说是“梯度下降”？
“梯度下降”包含了两层含义：
- 梯度：函数当前位置的最快上升点；
- 下降：与导数相反的方向，用数学语言描述就是那个减号。
亦即与上升相反的方向运动，就是下降。
图2-9 梯度下降的步骤
图2-9解释了在函数极值点的两侧做梯度下降的计算过程，梯度下降的目的就是使得x值向极值点逼近。
2.3.3 单变量函数的梯度下降
假设一个单变量函数：
\[J(x) = x ^2\]
我们的目的是找到该函数的最小值，于是计算其微分：
\[J'(x) = 2x\]
假设初始位置为：
\[x_0=1.2\]
假设学习率：
\[\eta = 0.3\]
根据公式(1)，迭代公式：
\[x_{n+1} = x_{n} - \eta \cdot \nabla J(x)= x_{n} - \eta \cdot 2x\tag{1}\]
假设终止条件为J(x)<1e-2，迭代过程是：
x=0.480000, y=0.230400
x=0.192000, y=0.036864
x=0.076800, y=0.005898
x=0.030720, y=0.000944上面的过程如图2-10所示。
图2-10 使用梯度下降法迭代的过程
2.3.4 双变量的梯度下降
假设一个双变量函数：
\[J(x,y) = x^2 + \sin^2(y)\]
我们的目的是找到该函数的最小值，于是计算其微分：
\[{\partial{J(x,y)} \over \partial{x}} = 2x\]
\[{\partial{J(x,y)} \over \partial{y}} = 2 \sin y \cos y\]
假设初始位置为：
\[(x_0,y_0)=(3,1)\]
假设学习率：
\[\eta = 0.1\]
根据公式(1)，迭代过程是的计算公式：
\[(x_{n+1},y_{n+1}) = (x_n,y_n) - \eta \cdot \nabla J(x,y)\]
\[ = (x_n,y_n) - \eta \cdot (2x,2 \cdot \sin y \cdot \cos y) \tag{1}\]
根据公式(1)，假设终止条件为\(J(x,y)<1e-2\)，迭代过程如表2-3所示。
表2-3 双变量梯度下降的迭代过程
| 1 | 3 | 1 | 9.708073 |
| 2 | 2.4 | 0.909070 | 6.382415 |
| ... | ... | ... | ... |
| 15 | 0.105553 | 0.063481 | 0.015166 |
| 16 | 0.084442 | 0.050819 | 0.009711 |
迭代16次后，J(x,y)的值为0.009711，满足小于1e-2的条件，停止迭代。
上面的过程如表2-4所示，由于是双变量，所以需要用三维图来解释。请注意看两张图中间那条隐隐的黑色线，表示梯度下降的过程，从红色的高地一直沿着坡度向下走，直到蓝色的洼地。
表2-4 在三维空间内的梯度下降过程
2.3.5 学习率η的选择
在公式表达时，学习率被表示为\(\eta\)。在代码里，我们把学习率定义为learning_rate，或者eta。针对上面的例子，试验不同的学习率对迭代情况的影响，如表2-5所示。
表2-5 不同学习率对迭代情况的影响
| 1.0 | 学习率太大，迭代的情况很糟糕，在一条水平线上跳来跳去，永远也不能下降。 | |
| 0.8 | 学习率大，会有这种左右跳跃的情况发生，这不利于神经网络的训练。 | |
| 0.4 | 学习率合适，损失值会从单侧下降，4步以后基本接近了理想值。 | |
| 0.1 | 学习率较小，损失值会从单侧下降，但下降速度非常慢，10步了还没有到达理想状态。 |
代码位置
ch02, Level3, Level4, Level5