基环树
基环树，也叫 环套树，是一种图的类型。如果连通图 \(G=\{V,E\}\) 有 \(|V|=|E|\)，则我们称它是基环树。
顾名思义，基环树就好似是在一棵树上加一条边得到的图。基环树有且仅有一个环，所以也被成为环套树。
如上图所示的图就是一棵基环树。
用途
基环树没什么用。
它只能解决部分特殊问题，而这类问题通常会注明“边数=点数”，解法也比较单一，常被与其他算法一同考察。
我们来看几道例题。
例 （luogu P1453 城市环路）今有基环树 \(G=\{V,E\}\)，定义\[ans=\sum_{i=1}^{N}{a_i·b_i}\]\(\forall i\in[1,N]∩\N^*\) 有 \(b_i\in{0,1}\)，且 \(\forall e=(u,v)\in E\) 有 \(b_u\text{ and }b_v=0\)（\(\text{and}\) 表示按位与运算）。求 \(ans_{\max}\)。
Solution 由一条边上的两个点不能被同时选中，不难想到给每个点设置两个状态：选中（1）与不选中（0）；本题中如果 \(N=M+1\)，这显然就是“没有上司的舞会”了。
考虑将新问题转化成已解决的问题。我们发现，环上有且仅有一条边对计算不产生影响，删除它即可。并查集找环，删除一条边后做树形动态规划即可解决此题。时间复杂度 \(O(N\alpha(N))\)。
参考代码
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
const int MAXN=100010;
int fa[MAXN];
int a[MAXN];
int sx,sy,fx,fy;
int ST,ED;
int n;
struct node{
int x,y,next;
}e[MAXN+MAXN];
int len=0;
int first[MAXN];
int ans;
int f[MAXN][3];
int findfa(int x){
if(x==fa[x]) return x;
return fa[x]=findfa(fa[x]);
}
void ins(int x,int y){
e[++len].x=x;e[len].y=y;
e[len].next=first[x];first[x]=len;
}
int max(int x,int y){
return x>y?x:y;
}
void dfs(int x,int last){
f[x][1]=a[x];f[x][0]=0;
for(int i=first[x];i;i=e[i].next){
int y=e[i].y;
if(y==last) continue;
dfs(y,x);
f[x][0]+=max(f[y][1],f[y][0]);
f[x][1]+=f[y][0];
}
}
inline int read(){
int x=0; char c;
do c=getchar(); while(c<'0'||c>'9');
while(c>='0'&&c<='9')
x=x*10+c-48,c=getchar();
return x;
}
int main(){
n=read();
for(int i=1;i<=n;++i){
a[i]=read();
fa[i]=i;
}
memset(first,0,sizeof(first));
for(int i=1;i<=n;++i){
sx=read()+1;sy=read()+1;
fx=findfa(sx);fy=findfa(sy);
if(fx==fy){
ST=sx;ED=sy;
continue;
}
ins(sx,sy);ins(sy,sx);
fa[fx]=fy;
}
memset(f,0,sizeof(f));
dfs(ST,0);ans=f[ST][0];
dfs(ED,0);ans=max(ans,f[ED][0]);
double k;
scanf("%lf",&k);
printf("%.1lf",ans*k);
}接下来的这道习题与例题的思路不太一样。
练习 （[NOIp2018] luogu P5022 旅行）有一棵基环树 \(T\)，你初始在一个点上。每次可以从下列选项中选择一项执行：
- 沿着一条边走到一个没有访问过的点；
- 沿着一条边返回一个访问过的点。
你需要依此法访问所有的 \(N\) 个点。每个点被首次访问的顺序形成了一个序列，求这个序列字典序最小的那个。
总结
基环树的初步内容较少，解法单一，经常与其他算法一同出现。
解决基环树上问题的关键点就是：处理额外边，将原问题转化成树上问题。
本文列举了两种处理额外边的方法，难免有所疏漏敬请指正。此外，如果读者有好题推荐可以在评论区留言，我会尽量回复。感谢阅读。