关于高斯模糊，我在我早期的博客里也有两篇文章予以描述：
SSE图像算法优化系列二：高斯模糊算法的全面优化过程分享（一）。
SSE图像算法优化系列二：高斯模糊算法的全面优化过程分享（二）。
一个是递归的IIR滤波器，一个Deriche滤波器，他们的速度都已经是顶级的了，而且都能够使用SIMD指令优化，其中有讲到《Recursive implementation of the Gaussian filter》这个方法在半径较大的时候会出现一定的瑕疵，核心原因是大半径会导致其中的某些系数特别小，因此造成浮点精度的丢失，因此，要保证效果就必须在计算过程中使用double数据类型，而使用了double，普通的sse指令集的增速效果就不是很明显了，因此，为了速度可能需要使用AVX或者更高的AVX512。
那么这两个都是从离散角度来说比较精确的算法，因为有了SIMD指令，使得他们在PC上即使有了大量的浮点计算，计算的速度也比较不错。在一些特殊的情况或者特殊的硬件中，还是存在浮点计算非常慢的情况（比如FPGA），因此，还是有不上资料和文章提出了一些近似的算法来减少计算量，在celerychen分享的文章快速高斯滤镜算法中，除了上述两个算法外，还提到了均值滤波逼近高斯滤波以及 扩展二项式滤波逼近高斯滤波两个方法。
一、Binomial Filter 二项式滤波滤波器
多年前我也看过这个文章，那个时候也没有怎么在意，最近在研究halcon的一些滤波器时，偶尔翻到其binomial_filter函数的说明时，突然看到其有如下的一些描述：
The binomial filter is a very good approximation of a Gaussian filter that can be implemented extremely efficiently using only integer operations. Hence, binomial_filter is very fast.
他说这个binomial filter只有整形的计算，因此速度非常快。
是不是这样的呢，于是我在网络上搜索这方面的资料，大部分都指向 extended binomial filter for Fast gaussian Blur这篇文章，可以参考道客巴巴里的这篇文章：https://www.doc88.com/p-1896883955048.html
这个文章写得很详细，有着非常丰富的数学推导和公式，还有很多漂亮的曲线，比如下面这个描述了不同的半径r和不同的n阶毕竟的精度。当n=3或者n=4时，也已经相当的准确了。特别是半径比价大时（模糊程度）。
这个文章的末尾提供了相关的参考代码，但是那个参考代码有点凌乱，而且不知道是啥语言，好像是可以为PS写插件的脚本一样，不过大概还是能猜到是什么意思。
celerychen在他的文章说里面几个重要的初始参数不知道如何确定，主要可能是指的scaleFactor，这个其实因该他做界面预览时的一些缩放值，我们做算法时，他就是1。
另外，那个文章是比较早的了，作者提供的那个网站里有提供最新的一批代码，详细见：Efficient Gaussian Blur Algorithm
这个文章中提供的一个重要的计算公式即为：
其中为用户输入的标准差，n为离散的阶数，r为计算得到半径，由上式我们可以推到出：
r = sqrtf(12.0 * Sigma * Sigma / n + 1)
注意，这里得到的r应该是浮点数，但是浮点数，我们无法进行均值模糊，所以一般需要四舍五入取整。当然，如果要求精度的，那就要去上下两个半径值分别做处理后，在对结果进行插值。
这个公式在 均值滤波逼近高斯滤波 的文章里也有提到。
我们从Efficient Gaussian Blur Algorithm 这个网站的相关链接里可以有如下描述：
- gauss2.ffp: The program for the first degree approximation is a great improvement to the box blur. It is as easy to understand and has only slight approximation error.
- gauss3.ffp: The program for the second degree approximation is accurate enough for most applications.
- gauss4.ffp: The third degree approximation has nearly no difference to the Gaussian blur for 8-bit images apart of rounding errors
我想说的是gauss2.ffp其实是Third degree approximation对应的代码（n = 3）,gauss3.ffp和gauss4.ffp都是Fourth degree approximation对应的代码(n=4)，但是他们里面的叠加顺序写法又有所不同（里面的变量sum, deri1, deri2, diff叠加的顺序），那么真正的Second degree approximation文章里没有给链接，但是可以用在链接 http://members.chello.at/easyfilter/gauss1.ffp 里打开。感觉像是作者故意隐藏了一样。
另外还要注意在论文里的sum, deri1, deri2, diff和链接里的顺序也不太一样。
为了方便大家测试，我从链接里整理了一个可以运行的代码，很丑陋，但是确实效果和速度都还不错。
int IM_BinomialFilter4_PureC_Gray_Raw(unsigned char *Src, unsigned char *Dest, int Width, int Height, int Stride, int Sigma)
{
int Channel = Stride / Width;
if ((Src == NULL) || (Dest == NULL) || (Dest == NULL)) return IM_STATUS_NULLREFRENCE;
if ((Width <= 0) || (Height <= 0)) return IM_STATUS_INVALIDPARAMETER;
if (Channel != 1) return IM_STATUS_NOTSUPPORTED;
int Status = IM_STATUS_OK;
Sigma = IM_Min(Sigma, 256); // 如果全部用整形的数据，半径不能大于30， Sum和Deri用浮点半径可以取得较大
int Radius = (int)(sqrtf(3.0 * Sigma * Sigma + 1) + 0.4999999f);
int Weight = Radius * Radius * Radius * Radius;
float InvWeight = 1.0f / Weight;
unsigned char *Buffer = (unsigned char *)malloc((IM_Max(Width, Height) + 4 * Radius) * sizeof(unsigned char));
unsigned char *Temp = (unsigned char *)malloc(Height * Stride * sizeof(unsigned char));
int *RowOffset = (int *)malloc((Width + 4 * Radius) * sizeof(int));
int *ColOffset = (int *)malloc((Height + 4 * Radius) * sizeof(int));
if ((Buffer == NULL) || (Temp == NULL) || (RowOffset == NULL) || (ColOffset == NULL))
{
Status = IM_STATUS_OUTOFMEMORY;
goto FreeMemory;
}
// 注意起点位置是偏移了一个1个像素的
for (int X = 0; X < Width + 4 * Radius; X++)
RowOffset[X] = IM_GetMirrorPos(Width, X - 2 * Radius + 1);
for (int Y = 0; Y < Height + 4 * Radius; Y++)
ColOffset[Y] = IM_GetMirrorPos(Height, Y - 2 * Radius + 1);
for (int Y = 0; Y < Height; Y++) // horizontal blur...
{
unsigned char *LinePS = Src + Y * Stride;
unsigned char *LinePD = Temp + Y * Stride;
for (int X = 0; X < 2 * Radius - 1; X++)
Buffer[X] = LinePS[RowOffset[X]];
memcpy(Buffer + 2 * Radius - 1, LinePS, Width);
for (int X = 2 * Radius - 1 + Width; X < Width + 4 * Radius; X++)
Buffer[X] = LinePS[RowOffset[X]];
float Sum = 0, Deri1 = 0;
int Deri2 = 0, Diff = 0;
for (int X = -4 * Radius; X < 0; X++)
{
Sum += Deri1;
Deri1 += Deri2;
Deri2 += Diff; // accumulate pixel blur
Diff += Buffer[X + 4 * Radius];
if (X + 3 * Radius >= 0) Diff -= 4 * Buffer[X + 3 * Radius]; // -4,
if (X + 2 * Radius >= 0) Diff += 6 * Buffer[X + 2 * Radius]; // +6,
if (X + Radius >= 0) Diff -= 4 * Buffer[X + 1 * Radius]; // -4, (+1)}
}
for (int X = 0; X < Width; X++)
{
Sum += Deri1;
Deri1 += Deri2;
Deri2 += Diff;
Diff += Buffer[X] - 4 * Buffer[X + Radius] + 6 * Buffer[X + 2 * Radius] - 4 * Buffer[X + 3 * Radius] + Buffer[X + 4 * Radius]; //{+1, -4, +6, -4, +1}
LinePD[X] = (int)(Sum * InvWeight + 0.499999f);
//LinePD[X] = (Sum + Weight / 2) / Weight;
}
}
for (int X = 0; X < Width; X++) // Vertical Blur
{
unsigned char *LinePS = Temp + X;
unsigned char *LinePD = Dest + X;
for (int Y = 0; Y < 2 * Radius - 1; Y++)
Buffer[Y] = LinePS[ColOffset[Y] * Stride];
for (int Y = 0; Y < Height; Y++)
{
Buffer[Y + 2 * Radius - 1] = LinePS[Y * Stride];
}
for (int Y = 2 * Radius - 1 + Height; Y < Height + 4 * Radius; Y++)
Buffer[Y] = LinePS[ColOffset[Y] * Stride];
float Sum = 0, Deri1 = 0;
int Deri2 = 0, Diff = 0;
for (int Y = -4 * Radius; Y < 0; Y++)
{
Sum += Deri1;
Deri1 += Deri2;
Deri2 += Diff; // accumulate pixel blur
Diff += Buffer[Y + 4 * Radius];
if (Y + 3 * Radius >= 0) Diff -= 4 * Buffer[Y + 3 * Radius]; // -4,
if (Y + 2 * Radius >= 0) Diff += 6 * Buffer[Y + 2 * Radius]; // +6,
if (Y + Radius >= 0) Diff -= 4 * Buffer[Y + 1 * Radius]; // -4, (+1)}
}
for (int Y = 0; Y < Height; Y++)
{
Sum += Deri1;
Deri1 += Deri2;
Deri2 += Diff;
Diff += Buffer[Y] - 4 * Buffer[Y + Radius] + 6 * Buffer[Y + 2 * Radius] - 4 * Buffer[Y + 3 * Radius] + Buffer[Y + 4 * Radius]; //{+1, -4, +6, -4, +1}
LinePD[0] = (int)(Sum * InvWeight + 0.499999f);
//LinePD[0] = (Sum + Weight / 2) / Weight;
LinePD += Stride;
}
}
FreeMemory:
if (Buffer != NULL) free(Buffer);
if (Temp != NULL) free(Temp);
if (RowOffset != NULL) free(RowOffset);
if (ColOffset != NULL) free(ColOffset);
return Status;
}注意这个是翻译自gauss3.ffp的代码并做了适当的调整，我们看到程序还是使用了很多的浮点数的，否则当Sigma稍微大一点，结果就溢出了，当然，代码里也给出了如果SIgma不大于30，则可以全部用整形实现。
我们处理了一副3000*2000的灰度图，出乎意料的是，就这个很随意的代码能获得82毫秒的成绩。
优化：
乍一看起来，Vertical Blur那一部分的代码访问内存的方式很不友好，有着大量的跨行访问内存的地方，确实原始的代码是有这个问题，但是这种模糊都有这个特性，在 高斯模糊算法的全面优化过程分享（一） 中我们探讨过垂直方向处理算法一般不宜直接写，而应该用一个临时的行缓存进行处理，这里同样可以用这个方法来处理，而且处理的代码还能通用各种不同的通道，这里不多赘述。
Horizontal blur部分，看代码知道是存在着严重的像素前后依赖的，这种特性非常不利于指令集优化，处理的方式呢，我在博客里也多次提到，把多行（比如四行）合并到一行后，进行处理，这样合并的一行里就有连续4个像素的处理是毫无关系的，就可以借助于SSE之类的指令予以处理了，这部分方式可以参考我的博文： SSE图像算法优化系列五：超高速指数模糊算法的实现和优化（10000*10000在100ms左右实现）。
经过一番折腾呢，这个算法可以优化到13ms左右（4阶），当然，这个代码明显有个特性，随着Sigma的增大，程序里的边缘部分的计算量也会增加，因此，算法的耗时和参数有一定的关系，但是不是特别明显。
如果是使用的2阶算法，则内部计算要更加的少，同样的图片大约在11ms左右可以处理完成，而原始的Deriche算法嘛，耗时大概在18ms上下。
2阶的有个比较好的特性，就是他的全部的计算过程里的累加量都在整形的有效范围呢，因此确实可以用整形计算实现效果。
完成了这个算法后，回头在去看Halcon的binomial_filter ，感觉味道又变了，本来以为他的那个MaskWidth和MaskHeight就是对应的水平和垂直方向的Sigma的，结果测试不是，他的结果在MaskWidth和MaskHeight很大时，模糊的程度也比较小。目前还搞不清楚是怎么回事。
不过有一点，Halcon的这个算子的速度那真叫一个牛逼，3000*2000的图都只要几豪秒（随MaskWidth和MaskHegiht的增加耗时也在增加）。
二、使用多次均值模糊模拟高斯模糊
这个算法的参考文献的正式名字应该是Fast Almost-Gaussian Filtering，而不是celerychen文章里提的 Arbitrary Gaussian Filtering with 25 Addtions and 5 Multiplications per Pixel，那个文章里根本没看到说25次加法和5次乘法。
这个文章的理论基础其实也是这个公式：
英文的原文为：
他这里给出了用均值模糊模拟高斯模糊的半径的计算方式，即上图中公式5，当给定均方差，给定均值模拟的次数，就可以计算出m。
在https://blog.ivank.net/fastest-gaussian-blur.html这里作者给出了相关的简易的示例代码，稍作整理如下所示：
// https://github.com/amazingyyc/fasted_gauss_blur // https://www.cnblogs.com/amazingyyc/p/4530634.html // https://www.doc88.com/p-1896883955048.html // 使用 N 个 BoxBlur 拟合 Sigma的高斯函数 // 参考：Arbitrary Gaussian Filtering with 25 Addtions and 5 Multiplications per Pixel.pdf // Fast Almost - Gaussian Filtering.pdf void IM_GetBoxRadiusForGauss(float Sigma, int *Size, int N) { float IdealW = sqrt(12.0 * Sigma * Sigma / N + 1.0); // 论文公式1 int LowerW = floor(IdealW); // 向下取整 if (LowerW % 2 == 0) LowerW--; // the first odd integer that is less than IdealW int UpperW = LowerW + 2; // the other being being the first odd integer greater than IdealW int M = round((12.0 * Sigma * Sigma - N * LowerW * LowerW - 4 * N * LowerW - 3 * N) / (-4 * LowerW - 4)); // 论文公式2 for (int Y = 0; Y < N; Y++) // Apply an averaging filter of width LowerW M times. Size[Y] = (Y < M ? LowerW : UpperW); // Apply an averaging filter of width UpperW N - M times. } int IM_FastGaussBlur(unsigned char *Src, unsigned char *Dest, int Width, int Height, int Stride, int Radius) { int Channel = Stride / Width; if ((Src == NULL) || (Dest == NULL) || (Dest == NULL)) return IM_STATUS_NULLREFRENCE; if ((Width <= 0) || (Height <= 0)) return IM_STATUS_INVALIDPARAMETER; if ((Channel != 1) && (Channel != 3) && (Channel != 4)) return IM_STATUS_NOTSUPPORTED; int Status = IM_STATUS_OK; unsigned char *Temp = (unsigned char *)malloc(Height * Stride * sizeof(unsigned char)); if (Temp == NULL) { Status = IM_STATUS_OUTOFMEMORY; goto FreeMemory; } int BoxRadius[3]; // 使用3次均值模糊代替高斯 IM_GetBoxRadiusForGauss(Radius, BoxRadius, 3); // 计算拟合的半径 Status = IM_BoxBlur(Src, Dest, Width, Height, Stride, (BoxRadius[0] - 1) / 2); if (Status != IM_STATUS_OK) goto FreeMemory; Status = IM_BoxBlur(Dest, Temp, Width, Height, Stride, (BoxRadius[1] - 1) / 2); if (Status != IM_STATUS_OK) goto FreeMemory; Status = IM_BoxBlur(Temp, Dest, Width, Height, Stride, (BoxRadius[2] - 1) / 2); if (Status != IM_STATUS_OK) goto FreeMemory; FreeMemory: if (Temp != NULL) free(Temp); return Status; }
可以看到，就是简单的3次均值模糊，因为均值模糊可以高度的向量化编程，拥有特别特别快的速度，因此，也能获得非常优异的性能。
三、效果比较
对标准的高斯模糊，二阶二项式、4阶二项式以及均值模糊模拟进行测试，发现他们在视觉上无特备明显的差异。
原始图像 Deriche滤波器 2阶多项式滤波器
4阶多项式滤波器 三级均值模糊
可以通过我的DEMO里动态的看到这些滤波器的结果差异，感觉这些差异是在可接收的范围内的。
可执行的DEMO下载地址为： https://files.cnblogs.com/files/Imageshop/SSE_Optimization_Demo.rar?t=1660121430
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