红黑树第一部分:介绍
红黑树是一种自平衡的二叉搜索树(BST),其中每个节点遵循以下规则。
- 每个节点都有红色或黑色
- 树的根总是黑色的
- 没有两个相邻的红色节点(红色节点不能有红色的父节点或红色的子节点)
- 从节点(包括根)到其任何子代NULL节点的每条路径都具有相同数量的黑色节点
为什么要用红黑树
大多数BST操作(例如,搜索,最大,最小,插入,删除等)取\(O(H)\)时间,其中H是BST的高度。对于倾斜二叉树,这些操作的成本可以变为\(O(N)\)。如果我们确保在每次插入和删除后树的高度保持\(O(logN)\),那么我们可以保证所有这些操作的上限为\(O(logN)\)。红黑树的高度始终为\(O(logN)\),其中n是树中的节点数。
和AVL树作比较
与红黑树相比,AVL树更平衡,但它们在插入和删除期间可能会导致更多的旋转。因此,如果您的应用程序涉及许多频繁的插入和删除,那么红黑树应该是首选的。如果插入和删除的频率较低,并且搜索是更频繁的操作,则AVL树应该优先于红黑树。
红黑树如何确保平衡?
理解平衡的一个简单示例是,红黑树中不可能有3个节点的链。我们可以尝试任何颜色的组合,看它们是否违反了红黑树的属性。
A chain of 3 nodes is nodes is not possible in Red-Black Trees.
Following are NOT Red-Black Trees
30 30 30
/ \ / \ / \
20 NIL 20(r) NIL 20(r) NIL
/ \ / \ / \
10 NIL 10 NIL 10(r) NIL
违反性质 4 违反性质 4 违反性质 3
以下是不同的可能的红黑树,具有以上3个键
20 20
/ \ / \
10 30 10(r) 30(r)
/ \ / \ / \ / \
NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL
从上面的例子中,我们了解到红黑树是如何确保平衡的。以下是红黑树平衡的一个重要事实。
- 红黑树的黑色高度:
黑色高度Black Height是从根到叶的路径上的黑色节点数。叶节点也算作黑色节点。从上述性质3和4,我们可以推导出高度为h的红黑树具有 \(Black Height >= h/2\)。