题目描述

猫猫TOM和小老鼠JERRY最近又较量上了，但是毕竟都是成年人，他们已经不喜欢再玩那种你追我赶的游戏，现在他们喜欢玩统计。最近，TOM老猫查阅到一个人类称之为“逆序对”的东西，这东西是这样定义的：对于给定的一段正整数序列，逆序对就是序列中ai>aj且i<j的有序对。知道这概念后，他们就比赛谁先算出给定的一段正整数序列中逆序对的数目。

Input / Output 格式

输入格式

第一行，一个数n，表示序列中有n个数。

第二行n个数，表示给定的序列。序列中每个数字不超过\(10^9\)

输出格式

给定序列中逆序对的数目。

输入样例

6
5 4 2 6 3 1

输出样例

数据范围

对于25%的数据，\(n \leq 2500n\)

对于50%的数据，\(n \leq 4 \times 10^4\)

对于所有数据，\(n \leq 5 \times 10^5\)

请使用较快的输入输出

解题思路

暴力做法

\(O(n)\)枚举所有的点，\(O(n)\)比较数的大小，求出逆序对的个数

均摊\(O(n^2)\)

正解

分治

想想归并排序的过程

比如我们要对下面的区间进行归并排序

\[a_i\ \ mid=4\ \ a_j\]

\[2\ 4\ 7\ 8\ \ \ \ \ 1\ 5\ 6\ 24\]

我们拿1去比较，此时可以构成的逆序对个数为4，把他放到\(r_k\)里，那么此时\(i\)是指向\(a_1\)的

接着继续比较，直到\(a_i < a_j\)，就将\(a_i\)放到\(r_k\)里

以此类推，最终的逆序对个数就是中间求出的个数的和\(=mid-i+1\)的和

代码实现

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

const int MAXN = 5 * 1e5 + 10;

int n, a[MAXN], tmp[MAXN];

long long int ans;

void mergeSort(int l, int r) {
    if (l == r) return;
    int mid = (l + r) >> 1;
    mergeSort(l, mid);
    mergeSort(mid+1, r);
    int i = l, j = mid + 1, k = l;
    while (i <= mid && j <= r) {
        if (a[i] <= a[j]) tmp[k] = a[i++], ++k;
        else tmp[k] = a[j++], ++k, ans += (long long int) mid - i + 1;
    }
    while (i <= mid) tmp[k++] = a[i++];
    while (j <= r) tmp[k++] = a[j++];
    for (int i = l; i <= r; ++i) a[i] = tmp[i];
}

int main(int argc, char *const argv[]) {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        cin >> a[i];
    }
    mergeSort(1, n);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

序对

洛谷P1908《逆序对》