python - scipy eigh为正半定矩阵给出负特征值

我在scipy的eigh函数返回正半定矩阵的负特征值时遇到一些问题。以下是MWE。
hess_R函数返回一个正半定矩阵(它是秩为1的矩阵和对角矩阵的总和，均为非负项)。

import numpy as np
from scipy import linalg as LA

def hess_R(x):
    d = len(x)
    H = np.ones(d*d).reshape(d,d) / (1 - np.sum(x))**2
    H = H + np.diag(1 / (x**2))
    return H.astype(np.float64)

x = np.array([  9.98510710e-02 ,  9.00148922e-01 ,  4.41547488e-10])
H = hess_R(x)
w,v = LA.eigh(H)
print w

打印的特征值是

[ -6.74055241e-271   4.62855397e+016   5.15260753e+018]

如果我在np.float64的return语句中将np.float32替换为hess_R，我会得到

[ -5.42905303e+10   4.62854925e+16   5.15260506e+18]

相反，所以我猜测这是某种精度问题。

有没有办法解决这个问题？从技术上讲，我不需要使用eigh，但是我认为这是我其他错误的根本问题(取这些矩阵的平方根，获取NaN等)。

最佳答案

我认为问题在于您已经达到浮点精度的极限。线性代数结果的一个很好的经验法则是，对于float32，它们约占10 ^ 8的一部分，对于float64而言，约占10 ^ 16的一部分。这里的特征值小于10 ^ -16。因此，返回值不能真正被信任，并且将取决于您使用的特征值实现的详细信息。

例如，这里有四个您应该可用的求解器。看一下他们的结果:

# using the 64-bit version
for impl in [np.linalg.eig, np.linalg.eigh, LA.eig, LA.eigh]:
    w, v = impl(H)
    print(np.sort(w))
    reconstructed = np.dot(v * w, v.conj().T)
    print("Allclose:", np.allclose(reconstructed, H), '\n')

输出:

[ -3.01441754e+02   4.62855397e+16   5.15260753e+18]
Allclose: True

[  3.66099625e+02   4.62855397e+16   5.15260753e+18]
Allclose: True

[ -3.01441754e+02+0.j   4.62855397e+16+0.j   5.15260753e+18+0.j]
Allclose: True

[  3.83999999e+02   4.62855397e+16   5.15260753e+18]
Allclose: True

注意，它们都同意较大的两个特征值，但是最小特征值的值随实现而变化。尽管如此，在所有四种情况下，输入矩阵都可以重构为最高64位精度:这意味着算法可以达到预期的精度运行。

关于python - scipy eigh为正半定矩阵给出负特征值，我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题：https://stackoverflow.com/questions/36819739/