`glmnet` 的岭回归给出的系数与我通过 "textbook definition"计算的系数不同？

我正在使用 glmnet R 包运行岭回归。我注意到我从 glmnet::glmnet 函数获得的系数与我通过定义计算系数获得的系数不同(使用相同的 lambda 值)。有人可以解释我为什么吗？

数据(均:响应 Y 和设计矩阵 X )被缩放。

library(MASS)
library(glmnet)

# Data dimensions
p.tmp <- 100
n.tmp <- 100

# Data objects
set.seed(1)
X <- scale(mvrnorm(n.tmp, mu = rep(0, p.tmp), Sigma = diag(p.tmp)))
beta <- rep(0, p.tmp)
beta[sample(1:p.tmp, 10, replace = FALSE)] <- 10
Y.true <- X %*% beta
Y <- scale(Y.true + matrix(rnorm(n.tmp))) # Y.true + Gaussian noise

# Run glmnet
ridge.fit.cv <- cv.glmnet(X, Y, alpha = 0)
ridge.fit.lambda <- ridge.fit.cv$lambda.1se

# Extract coefficient values for lambda.1se (without intercept)
ridge.coef <- (coef(ridge.fit.cv, s = ridge.fit.lambda))[2:(p.tmp+1)]

# Get coefficients "by definition"
ridge.coef.DEF <- solve(t(X) %*% X + ridge.fit.lambda * diag(p.tmp)) %*% t(X) %*% Y

# Plot estimates
plot(ridge.coef, type = "l", ylim = range(c(ridge.coef, ridge.coef.DEF)),
     main = "black: Ridge `glmnet`\nred: Ridge by definition")
lines(ridge.coef.DEF, col = "red")

最佳答案

如果你阅读 ?glmnet ，你会看到高斯响应的惩罚目标函数是:

1/2 * RSS / nobs + lambda * penalty

如果使用脊惩罚 1/2 * ||beta_j||_2^2，我们有

1/2 * RSS / nobs + 1/2 * lambda * ||beta_j||_2^2

与

RSS + lambda * nobs * ||beta_j||_2^2

这与我们通常在教科书中看到的关于岭回归的内容不同:

RSS + lambda * ||beta_j||_2^2

你写的公式:

##solve(t(X) %*% X + ridge.fit.lambda * diag(p.tmp)) %*% t(X) %*% Y
drop(solve(crossprod(X) + diag(ridge.fit.lambda, p.tmp), crossprod(X, Y)))

是为了教科书的结果；对于 glmnet 我们应该期待:

##solve(t(X) %*% X + n.tmp * ridge.fit.lambda * diag(p.tmp)) %*% t(X) %*% Y
drop(solve(crossprod(X) + diag(n.tmp * ridge.fit.lambda, p.tmp), crossprod(X, Y)))

所以，教科书使用 惩罚最小二乘法 ，但 glmnet 使用 惩罚均方误差 。

请注意，我没有将您的原始代码与 t() 、 "%*%" 和 solve(A) %*% b 一起使用；使用 crossprod 和 solve(A, b) 效率更高!见最后的跟进部分。

现在让我们做一个新的比较:

library(MASS)
library(glmnet)

# Data dimensions
p.tmp <- 100
n.tmp <- 100

# Data objects
set.seed(1)
X <- scale(mvrnorm(n.tmp, mu = rep(0, p.tmp), Sigma = diag(p.tmp)))
beta <- rep(0, p.tmp)
beta[sample(1:p.tmp, 10, replace = FALSE)] <- 10
Y.true <- X %*% beta
Y <- scale(Y.true + matrix(rnorm(n.tmp)))

# Run glmnet
ridge.fit.cv <- cv.glmnet(X, Y, alpha = 0, intercept = FALSE)
ridge.fit.lambda <- ridge.fit.cv$lambda.1se

# Extract coefficient values for lambda.1se (without intercept)
ridge.coef <- (coef(ridge.fit.cv, s = ridge.fit.lambda))[-1]

# Get coefficients "by definition"
ridge.coef.DEF <- drop(solve(crossprod(X) + diag(n.tmp * ridge.fit.lambda, p.tmp), crossprod(X, Y)))

# Plot estimates
plot(ridge.coef, type = "l", ylim = range(c(ridge.coef, ridge.coef.DEF)),
     main = "black: Ridge `glmnet`\nred: Ridge by definition")
lines(ridge.coef.DEF, col = "red")

请注意，我在调用 intercept = FALSE (或 cv.glmnet )时设置了 glmnet 。这比它在实践中会产生的影响具有更多的概念意义。从概念上讲，我们的教科书计算没有拦截，因此我们希望在使用 glmnet 时删除拦截。但实际上，由于你的 X 和 Y 是标准化的，截距的理论估计是 0。 即使使用 intercepte = TRUE(glment 默认)，你可以检查截距的估计是 ~e-17(数字 0)，因此其他系数的估计并不显着做作的。另一个答案只是展示了这一点。

跟进


t(X) %*% Y 将首先进行转置 X1 <- t(X) ，然后进行 X1 %*% Y ，而 crossprod(X, Y) 不会进行转置。 "%*%" 是 DGEMM 的包装器 op(A) = A, op(B) = B ，而 crossprod 是 op(A) = A', op(B) = B 的包装器。 tcrossprod 的 op(A) = A, op(B) = B' 类似。
crossprod(X) 的一个主要用途是用于 t(X) %*% X ；与 tcrossprod(X) 的 X %*% t(X) 类似，在这种情况下，将调用 DSYRK 而不是 DGEMM。您可以阅读 Why the built-in lm function is so slow in R? 的第一部分 以了解原因和基准。

请注意，如果 X 不是方阵，则 crossprod(X) 和 tcrossprod(X) 的速度并不相同，因为它们涉及不同数量的浮点运算，为此您可以阅读 Any faster R function than “tcrossprod” for symmetric dense matrix multiplication? 的旁注

关于 solvel(A, b) 和 solve(A) %*% b ，请阅读 How to compute diag(X %% solve(A) %% t(X)) efficiently without taking matrix inverse? 的第一节

关于 `glmnet` 的岭回归给出的系数与我通过 "textbook definition"计算的系数不同？，我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题：https://stackoverflow.com/questions/49991887/