我试图用度量g的符号表达式确定黎曼曲率张量。我已经预先计算了指标。笛卡尔坐标为
x = x（η，θ，psi）= a * sinh（eta）* cos（psi）/（cosh（eta）-cos（theta））
y = y（eta，θ，psi）= a * sinh（eta）* sin（psi）/（cosh（eta）-cos（θ））
z = z（η，theta，psi）= a *sinθ（θ）/（cosh（eta）-cos（θ））
从笛卡尔坐标（x，y，z）到环形坐标（eta，theta，psi）的转换中找到度量。使用符号包SymPy，以下脚本
from sympy.diffgeom import Manifold, Patch, CoordSystem, TensorProduct
from sympy.abc import theta, eta, psi
import sympy as sym
x,y,z,a = sym.symbols("x y z a")
m = Manifold("M",3)
patch = Patch("P",m)
cartesian = CoordSystem("cartesian",patch)
toroidal = CoordSystem("toroidal",patch)
from sympy import sin,cos,sinh,cosh
toroidal.connect_to(cartesian,[eta,theta,psi],
[(a*sinh(eta)*cos(psi))/(cosh(eta) - cos(theta)),
(a*sinh(eta)*sin(psi))/(cosh(eta) - cos(theta)),
(a*sin(theta))/(cosh(eta) - cos(theta))],inverse=False)
g = sym.Matrix([[a**2/(cos(theta) - cosh(eta))**2, 0, 0],
[0, a**2/(cos(theta) - cosh(eta)), 0],
[0, 0, a**2*sinh(eta)**2/(cos(theta) - cosh(eta))**2]])
diff_forms = toroidal.base_oneforms()
metric_diff_form = sum([TensorProduct(di, dj)*g[i, j] for i, di in enumerate(diff_forms) for j, dj in enumerate(diff_forms)])
from sympy.diffgeom import metric_to_Riemann_components
metric_to_Riemann_components(metric_diff_form)
产生结果
((((0, 0, 0), (0, 0, 0), (0, 0, 0)),
((0, 0, 0), (0, 0, 0), (0, 0, 0)),
((0, 0, 0), (0, 0, 0), (0, 0, 0))),
(((0, 0, 0), (0, 0, 0), (0, 0, 0)),
((0, 0, 0), (0, 0, 0), (0, 0, 0)),
((0, 0, 0), (0, 0, 0), (0, 0, 0))),
(((0, 0, 0), (0, 0, 0), (0, 0, 0)),
((0, 0, 0), (0, 0, 0), (0, 0, 0)),
((0, 0, 0), (0, 0, 0), (0, 0, 0))))
对于给定的指标g，结果不正确。结果应该是不平凡的。
最佳答案
您应将eta，theta，phi声明为坐标函数，即：
eta, theta, phi = toroidal.coord_functions()
坐标函数是在diffgeom模块中使用的标量变量。
此外，我建议在声明坐标系时声明坐标函数字符串：
toroidal = CoordSystem("toroidal", patch, ["eta", "theta", "psi"])
黎曼分量的推导是通过对坐标函数的推导来实现的，坐标函数是它们自己类型的变量（即它们不是Symbol的实例）。任何符号实例，即使具有相同的坐标函数名称，在派生下也被视为不同且恒定的。因此，结果为零。
用这些变量重新声明矩阵，它应该可以解决。
关于python - 用sympy.diffgeom查找黎曼曲率张量，我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题：https://stackoverflow.com/questions/32912669/