我想将算法的输出与不同的预处理数据进行比较：NMF和PCA。
为了以某种方式获得可比的结果，而不是为每个PCA和NMF选择相同数量的组件，我想选择可以解释例如95％的保留差异的数量。
我想知道是否有可能确定保留在NMF每个组成部分中的方差。
例如，使用PCA可以通过以下方式给出：retainedVariance(i) = eigenvalue(i) / sum(eigenvalue)
有任何想法吗？
最佳答案
TL; DR
您应该遍历不同的n_components，并在每次迭代时估计已解码的explained_variance_score的X。这将显示您需要多少成分来解释95％的方差。
现在，我将解释原因。
PCA和NMF之间的关系
NMF和PCA与其他许多无监督学习算法一样，旨在做两件事：
将输入X编码为压缩表示H；
将H解码回X'，该值应尽可能接近X。
他们以某种类似的方式进行操作：
解码在PCA和NMF中类似：它们输出X' = dot(H, W)，其中W是学习的矩阵参数。
编码是不同的。在PCA中，它也是线性的：H = dot(X, V)，其中V也是学习的参数。在NMF中，H = argmin(loss(X, H, W))（仅针对H），其中loss是X和dot(H, W)之间的均方误差，另加一些其他罚款。最小化是通过坐标下降执行的，结果在X中可能是非线性的。
训练也不同。 PCA依次学习：第一个分量将MSE不受限制地最小化，每个下一个k分量将与先前分量正交的残留MSE最小化。 NMF将与编码时相同的loss(X, H, W)最小化，但现在同时针对H和W。
如何衡量降维性能
如果要测量编码/解码算法的性能，可以按照通常的步骤进行：
在X_train上训练编码器和解码器
要衡量样本内的效果，请使用您喜欢的指标（例如MAE，RMSE或解释的方差）将X_train'=decode(encode(X_train))与X_train进行比较
要测量算法的样本外性能（泛化能力），请对看不见的X_test执行步骤2。
让我们用PCA和NMF尝试一下！
from sklearn import decomposition, datasets, model_selection, preprocessing, metrics
# use the well-known Iris dataset
X, _ = datasets.load_iris(return_X_y=True)
# split the dataset, to measure overfitting
X_train, X_test = model_selection.train_test_split(X, test_size=0.5, random_state=1)
# I scale the data in order to give equal importance to all its dimensions
# NMF does not allow negative input, so I don't center the data
scaler = preprocessing.StandardScaler(with_mean=False).fit(X_train)
X_train_sc = scaler.transform(X_train)
X_test_sc = scaler.transform(X_test)
# train the both decomposers
pca = decomposition.PCA(n_components=2).fit(X_train_sc)
nmf = decomposition.NMF(n_components=2).fit(X_train_sc)
print(sum(pca.explained_variance_ratio_))
它将打印出您解释的方差比率
0.9536930834362043-PCA的默认指标，使用其特征值进行估算。我们可以采用更直接的方式进行测量-通过对实际和“预测”值应用指标：def get_score(model, data, scorer=metrics.explained_variance_score):
""" Estimate performance of the model on the data """
prediction = model.inverse_transform(model.transform(data))
return scorer(data, prediction)
print('train set performance')
print(get_score(pca, X_train_sc))
print(get_score(nmf, X_train_sc))
print('test set performance')
print(get_score(pca, X_test_sc))
print(get_score(nmf, X_test_sc))
这使
train set performance
0.9536930834362043 # same as before!
0.937291711378812
test set performance
0.9597828443047842
0.9590555069007827
您可以看到，在训练集中，PCA的性能优于NMF，但在测试集中，它们的性能几乎相同。发生这种情况是因为NMF应用了大量正则化：
H和W（学习的参数）必须为非负数H应尽可能小（L1和L2罚分）W应尽可能小（L1和L2罚分）这些正则化使得NMF不能适应训练数据，但可能会提高NMF的泛化能力，这种情况在我们的案例中就是发生了。
如何选择零件数量
在PCA中，这很简单，因为它的组件
h_1, h_2, ... h_k是顺序学习的。如果添加新组件h_(k+1)，则第一个k不会更改。因此，您可以估计每个组件的性能，并且这些估计不会影响组件的数量。这使得PCA在仅对数据进行一次拟合后就可以输出explained_variance_ratio_数组。NMF更复杂，因为它的所有组件都在同一时间接受培训，而每个组件都依赖于其余所有组件。因此，如果添加第
k+1个组件，则第一个k组件将发生变化，并且您将无法使每个特定组件与其解释的方差（或任何其他度量）相匹配。但是您可以做的是为每个数量的组件装配一个新的
NMF实例，并比较解释的总方差：ks = [1,2,3,4]
perfs_train = []
perfs_test = []
for k in ks:
nmf = decomposition.NMF(n_components=k).fit(X_train_sc)
perfs_train.append(get_score(nmf, X_train_sc))
perfs_test.append(get_score(nmf, X_test_sc))
print(perfs_train)
print(perfs_test)
这会给
[0.3236945680665101, 0.937291711378812, 0.995459457205891, 0.9974027602663655]
[0.26186701106012833, 0.9590555069007827, 0.9941424954209546, 0.9968456603914185]
因此，需要三个分量（根据列车的性能判断）或两个分量（通过测试仪）来解释至少95％的方差。请注意，这种情况是不寻常的，是由少量的培训和测试数据引起的：通常，测试集的性能会有所下降，但就我而言，它实际上有所改善。