2018 China Collegiate Programming Contest Final (CCPC-Final 2018)-K - Mr. Panda and Kakin-中国剩余定理+同余定理

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【Problem Description】

\[求解x^{2^{30}+3}=c\pmod n\]

其中\(n=p\cdot q\)，\(p\)为小于\(x\)的最大素数，\(q\)为大于\(x\)的最小素数，\(x\)为\([10^5,10^9]\)内随机选择的数。\(0< c<n\)。

【Solution】

令\(a=2^{30}+3\)，所以有\(x^a=c\pmod n\Leftrightarrow x^{a\ mod \ \varphi(n)}=c\pmod n\)。又因为\(n=p\cdot q\)，所以有\(x^{a\ mod \ (p-1)\cdot (q-1)}=c\pmod n\)，求出\(a\)在模\((p-1)\cdot (q-1)\)意义下的逆元\(d\)，则\(x=c^d\pmod n\)。然后用中国剩余定理求解答案\(x\)即可。

至于\(p,q\)，由题意可知，\(p,q\)都在\(\sqrt{n}\)附近，所以暴力求解即可。

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【Code】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){ //扩展欧几里得
    if(a==0&&b==0) return -1;
    if(b==0){
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    int gcd=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return gcd;
}
int solve(int a,int b,int c){ //求逆元
    int x,y;
    int gcd=exgcd(a,b,x,y);
    if(c%gcd!=0) return -1;
    return (x%b+b)%b;
}
int fpow(int a,int b,int mod){ //快速幂
    int ans=1;a%=mod;
    while(b){
        if(b&1) (ans*=a)%=mod;
        (a*=a)%=mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int fmul(int a,int b,int mod){ //快速乘
    int ans=0;a%=mod;
    while(b){
        if(b&1) ans=(ans+a)%mod;
        a=(a+a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int crt(int ai[], int mi[], int len) { //中国剩余定理
    int ans = 0, lcm = 1;
    for (int i = 0; i < len; i++) lcm *= mi[i];
    for (int i = 0; i < len; i++) {
        int Mi = lcm / mi[i];
        int inv = fpow(Mi, mi[i] - 2, mi[i]);
        int x = fmul(fmul(inv, Mi, lcm), ai[i], lcm); //若lcm大于1e9需要用快速乘fmul
        ans = (ans + x) % lcm;
    }
    return ans;
}
int mi[5],ai[5];
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    int T,ca=0;cin>>T;
    while(T--){
        cout<<"Case "<<++ca<<": ";
        int n,c,p,q;cin>>n>>c;
        for(int i=sqrt(n);i>=0;i--) if(n%i==0){
            p=i;q=n/i;
            break;
        }
        int d=solve((1LL<<30)+3,(p-1)*(q-1),1);
        if(d==-1){
            cout<<"-1"<<endl;
            continue;
        }
        ai[0]=fpow(c,d,p);ai[1]=fpow(c,d,q);
        mi[0]=p;mi[1]=q;
        cout<<crt(ai,mi,2)<<endl;
    }
    return 0;
}