扩展KMP

• 给定字符串S和子串T。
  • 定义n=|s|,m=|T|,extend[i]=S[i~n]与T的最长公公前缀长度。请在线性时间内求出所有的extend。
  • 这道题继承上面KMP的思路，我们可以对T的每一个前缀做一次KMP，如果在某个i位置出现，就拿此时前缀长度更新i的extend数组。但是这样复杂度就是Ｏ(nm)，甚至还不如直接暴力比较求解。
  • 考虑一下如何转换思路。字符串算法想要转化成线性的，那我们肯定要尽量避免重复比较。考虑我们怎么通过之前算1～i的extend数组的时候，所做的比较运算能否为此时做贡献呢？假设某一个a的extend我们已经求过了，它的值为L，那么显然S【i～i+L-1】=T【1～L】。此时我们想算extend【K】，已经知道S【K+1～a+L-1】=T【K-a+2～L】。我们想知道能和T的前缀匹配多长，如果我们已经知道了T的后缀和T的前缀匹配的最长长度就好了。为此，我们引入了next数组。
  • next i 就是以i为开头的后缀与T匹配的最大长度。那么思路已经比较清晰了。假如我们现在要求K+1的extend，然后我们已知之前extend最大的位置为a，他匹配到了P,next K-a+2=L，那么分两种情况：
    • K+L<P，则extend 为L
    • K+L>=P ，那么我们已经匹配到了P，P之后的我们不知道，此时暴力枚举就好了。