无源汇带上下界可行流

　　之前学习了EK算法以及Dinic算法，它们所处理的都是有源有汇且只有上界的网络。此问题则要求流量在上界与下界之间，并且无源无汇，判断是否可行。

　　注意点：（1）这相当于一个循环流，对于每一个点，流入量都等于流出量。（2）流量必须在上界与下界之间。

　　可是我们并不会处理这种问题啊，首先无源无汇这点就使我陷入了迷茫，dinic是用来求有源汇的网络的最大流的，无从下手啊。

　　考虑怎么把问题转化：其实对于循环流，想要直接满足流入量等于流出量不好实现，我们可以一分为二。我们先假设网络里所有河道的流量都是下界l，此时对于单个点来说，可能会流入量等于流出量，也可能大于也可能小于。我们可以在原图中的残流网络里再找一些流，使得流入量等于流出量。预处理一个A数组，A【i】=流入量-流出量。如果A【i】小于0，代表当前点流出量大于流入量，为了使无源无汇的残流网络当前点流入量大于流出量，我们把当前点到t通一条流，容量为-A【i】；反之，把s到当前点通一条流，容量为A【i】。你发现，此时残流网络被我们变成了有源有汇的网络，且题目条件符合当且仅当连接s或t的边能跑满流，此时正好与初流构成循环流。所以在我们建好残流网络时，用dinic跑一下最大流，如果最大流=sout（sout是与s相连的流的容量的累加），存在；否则，不存在。每个边真正的流量等于初流+方向边的流量。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
const int inf=1<<29;
const int N=400;
const int M=40500;
int s,t,n,m,tot=1,sout,maxflow,flow,lin[N],d[N],D[N],in[M],bj[M];
struct Edge{int edge,v,n;}e[M];
void add(int x,int y,int z){
    e[++tot].v=y;e[tot].n=lin[x];lin[x]=tot;e[tot].edge=z;
    e[++tot].v=x;e[tot].n=lin[y];lin[y]=tot;e[tot].edge=0;
}
bool bfs(){
    memset(d,0,sizeof(d));
    queue<int>q;
    q.push(s),d[s]=1;
    while(q.size()){
        int x=q.front();q.pop();
        for(int i=lin[x];i;i=e[i].n){
            int y=e[i].v;
            if(e[i].edge&&!d[y]){
                d[y]=d[x]+1;
                q.push(y);
                if(y==t) return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}
int dinic(int x,int flow){
    if(x==t) return flow;
    int rest=flow;
    for(int i=lin[x];i&&rest;i=e[i].n){
        int y=e[i].v;
        if(e[i].edge&&d[y]==d[x]+1){
            int k=dinic(y,min(rest,e[i].edge));
            if(!k) d[y]=0;
            e[i].edge-=k;
            e[i^1].edge+=k;
            rest-=k;
        }
    }
    return flow-rest;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    s=0,t=n+1;
    for(int i=1;i<=m;++i){
        int x,y,l,r;scanf("%d%d%d%d",&x,&y,&l,&r);
        in[i]=l,D[y]+=l,D[x]-=l;
        add(x,y,r-l);
        bj[i]=tot;
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)
        if(D[i]>0) add(s,i,D[i]),sout+=D[i];
        else if(D[i]<0) add(i,t,-D[i]);
    while(bfs()){
        while(flow=dinic(s,inf)) maxflow+=flow;
    }
    if(sout==maxflow){
        printf("YES\n");
        for(int i=1;i<=m;++i) printf("%d\n",in[i]+e[bj[i]].edge);
    }else printf("NO\n");
    return 0;
}

Moon

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