视频来源:https://www.bilibili.com/video/av51932171?t=628。
博文来源:https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/fft.html?searchHighlight=fft&s_tid=doc_srchtitle
视频来源很好的解释了:
1 .傅里叶变换过程,经过傅里叶变化得到了,频率w,振幅a0,相位角φ;
2. 傅里叶变换 主要应用领域: 声音, 图像处理;
博文则很好的解释了:
1. 傅里叶变换在matlab软件中怎样应用
2.. 傅里叶变换的作用效果的展示,从时域到频域的变化,时域难以解决的问题到频域中却很清晰。
说明
示例
噪声信号
使用傅里叶变换求噪声中隐藏的信号的频率分量。
指定信号的参数,采样频率为 1 kHz,信号持续时间为 1.5 秒。
Fs = 1000; % Sampling frequency
T = 1/Fs; % Sampling period
L = 1500; % Length of signal
t = (0:L-1)*T; % Time vector
构造一个信号,其中包含幅值为 0.7 的 50 Hz 正弦量和幅值为 1 的 120 Hz 正弦量。
S = 0.7*sin(2*pi*50*t) + sin(2*pi*120*t);
用均值为零、方差为 4 的白噪声扰乱该信号。
X = S + 2*randn(size(t));
在时域中绘制噪声信号。通过查看信号 X(t)
很难确定频率分量。
plot(1000*t(1:50),X(1:50))
title('Signal Corrupted with Zero-Mean Random Noise')
xlabel('t (milliseconds)')
ylabel('X(t)')
计算信号的傅里叶变换。
Y = fft(X);
计算双侧频谱 P2
。然后基于 P2
和偶数信号长度 L
计算单侧频谱 P1
。
P2 = abs(Y/L); P1 = P2(1:L/2+1); P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1);
定义频域 f
并绘制单侧幅值频谱 P1
。与预期相符,由于增加了噪声,幅值并不精确等于 0.7 和 1。一般情况下,较长的信号会产生更好的频率近似值。
f = Fs*(0:(L/2))/L;
plot(f,P1)
title('Single-Sided Amplitude Spectrum of X(t)')
xlabel('f (Hz)')
ylabel('|P1(f)|')
现在,采用原始的、未破坏信号的傅里叶变换并检索精确幅值 0.7 和 1.0。
Y = fft(S);
P2 = abs(Y/L);
P1 = P2(1:L/2+1);
P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1);
plot(f,P1)
title('Single-Sided Amplitude Spectrum of S(t)')
xlabel('f (Hz)')
ylabel('|P1(f)|')
高斯脉冲
将高斯脉冲从时域转换为频域。
定义信号参数和高斯脉冲 X
。
Fs = 100; % Sampling frequency
t = -0.5:1/Fs:0.5; % Time vector
L = length(t); % Signal length
X = 1/(4*sqrt(2*pi*0.01))*(exp(-t.^2/(2*0.01)));
在时域中绘制脉冲。
plot(t,X)
title('Gaussian Pulse in Time Domain')
xlabel('Time (t)')
ylabel('X(t)')
要使用 fft
将信号转换为频域,首先从原始信号长度确定是下一个 2 次幂的新输入长度。这将用尾随零填充信号 X
以改善 fft
的性能。
n = 2^nextpow2(L);
将高斯脉冲转换为频域。
Y = fft(X,n);
定义频域并绘制唯一频率。
f = Fs*(0:(n/2))/n;
P = abs(Y/n);
plot(f,P(1:n/2+1))
title('Gaussian Pulse in Frequency Domain')
xlabel('Frequency (f)')
ylabel('|P(f)|')
余弦波
比较时域和频域中的余弦波。
指定信号的参数,采样频率为 1kHz,信号持续时间为 1 秒。
Fs = 1000; % Sampling frequency
T = 1/Fs; % Sampling period
L = 1000; % Length of signal
t = (0:L-1)*T; % Time vector
创建一个矩阵,其中每一行代表一个频率经过缩放的余弦波。结果 X
为 3×1000 矩阵。第一行的波频为 50,第二行的波频为 150,第三行的波频为 300。
x1 = cos(2*pi*50*t); % First row wave
x2 = cos(2*pi*150*t); % Second row wave
x3 = cos(2*pi*300*t); % Third row wave
X = [x1; x2; x3];
在单个图窗中按顺序绘制 X
的每行的前 100 个项,并比较其频率。
for i = 1:3
subplot(3,1,i)
plot(t(1:100),X(i,1:100))
title(['Row ',num2str(i),' in the Time Domain'])
end
出于算法性能的考虑,fft
允许您用尾随零填充输入。在这种情况下,用零填充 X
的每一行,以使每行的长度为比当前长度大的下一个最小的 2 的次幂值。使用 nextpow2
函数定义新长度。
n = 2^nextpow2(L);
指定 dim
参数沿 X
的行(即对每个信号)使用 fft
。
dim = 2;
计算信号的傅里叶变换。
Y = fft(X,n,dim);
计算每个信号的双侧频谱和单侧频谱。
P2 = abs(Y/L); P1 = P2(:,1:n/2+1); P1(:,2:end-1) = 2*P1(:,2:end-1);
在频域内,为单个图窗中的每一行绘制单侧幅值频谱。
for i=1:3
subplot(3,1,i)
plot(0:(Fs/n):(Fs/2-Fs/n),P1(i,1:n/2))
title(['Row ',num2str(i),' in the Frequency Domain'])
end
输入参数
X
- 输入数组 向量 | 矩阵 | 多维数组
输入数组,指定为向量、矩阵或多维数组。
如果 X
为 0×0 空矩阵,则 fft(X)
返回一个 0×0 空矩阵。
数据类型: double
| single
| int8
| int16
| int32
| uint8
| uint16
| uint32
| logical
复数支持: 是
n
- 变换长度 []
(默认) | 非负整数标量
变换长度,指定为 []
或非负整数标量。为变换长度指定正整数标量可以提高 fft
的性能。通常,长度指定为 2 的幂或可分解为小质数的乘积的值。如果 n
小于信号的长度,则 fft
忽略第 n
个条目之后的剩余信号值,并返回截断的结果。如果 n
为 0
,则 fft
返回空矩阵。
示例: n = 2^nextpow2(size(X,1))
数据类型: double
| single
| int8
| int16
| int32
| uint8
| uint16
| uint32
| logical
dim
- 沿其运算的维度 正整数标量
沿其运算的维度,指定为正整数标量。如果未指定值,则默认值是大小不等于 1 的第一个数组维度。
fft(X,[],1)
沿X
的各列进行运算,并返回每列的傅里叶变换。fft(X,[],2)
沿X
的各行进行运算,并返回每行的傅里叶变换。
如果 dim
大于 ndims(X)
,则 fft(X,[],dim)
返回 X
。当指定 n
时,fft(X,n,dim)
将对 X
进行填充或截断,以使维度 dim
的长度为 n
。
数据类型: double
| single
| int8
| int16
| int32
| uint8
| uint16
| uint32
| logical
输出参数
Y
- 频域表示 向量 | 矩阵 | 多维数组
频域表示,以向量、矩阵或多维数组形式返回。
如果 X
的类型为 single
,则 fft
本身以单精度进行计算,Y
的类型也是 single
。否则,Y
以 double
类型返回。
Y
的大小如下:
对于
Y = fft(X)
或Y = fft(X,[],dim)
,Y
的大小等于X
的大小。对于
Y = fft(X,n,dim)
,size(Y,dim)
的值等于n
,而所有其他维度的大小保持与在X
中相同。
如果 X
为实数,则 Y
是共轭对称的,且 Y
中特征点的数量为 ceil((n+1)/2)
。
数据类型: double
| single
详细信息
向量的离散傅里叶变换
Y = fft(X)
和 X = ifft(Y)
分别实现傅里叶变换和逆傅里叶变换。对于长度 n
的 X
和 Y
,这些变换定义如下:
Y(k)=nj=1X(j) W(j−1)(k−1)nX(j)=1nnk=1Y(k) Wn−(j−1)(k−1),
其中
Wn=e(−2πi)/n
为 n 次单位根之一。
提示
fft
的执行时间取决于变换的长度。仅具有小质因数的变换长度的 fft 执行时间明显快于本身是质数或具有较大质因数的变换长度的 fft 执行时间。对于大多数
n
值,实数输入的 DFT 需要的计算时间大致是复数输入的 DFT 计算时间的一半。但是,当n
有较大的质因数时,速度很少有差别或没有差别。使用工具函数
fftw
可能会提高fft
的速度。此函数控制用于计算特殊大小和维度的 FFT 算法优化。
参考
[1] FFTW (http://www.fftw.org
)
[2] Frigo, M., and S. G. Johnson. “FFTW: An Adaptive Software Architecture for the FFT.” Proceedings of the International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing. Vol. 3, 1998, pp. 1381-1384.
扩展功能
C/C++ 代码生成 使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。
用法说明和限制:
有关可变大小数据的限制,请参阅Variable-Sizing Restrictions for Code Generation of Toolbox Functions (MATLAB Coder)。
对于 MEX 输出,MATLAB Coder™ 使用 MATLAB 用于 FFT 算法的库。对于独立的 C/C++ 代码,默认情况下,代码生成器生成用于 FFT 算法的代码,而不是生成 FFT 库调用。要生成对安装的特定 FFTW 库的调用,请提供 FFT 库回调类。有关 FFT 库回调类的详细信息,请参阅
coder.fftw.StandaloneFFTW3Interface
。对于 MATLAB Function 模块的仿真,仿真软件使用 MATLAB 用于 FFT 算法的库。对于 C/C++ 代码生成,默认情况下,代码生成器生成用于 FFT 算法的代码,而不是生成 FFT 库调用。要生成对安装的特定 FFTW 库的调用,请提供 FFT 库回调类。有关 FFT 库回调类的详细信息,请参阅
coder.fftw.StandaloneFFTW3Interface
。
GPU 数组 通过使用 Parallel Computing Toolbox™ 在图形处理单元 (GPU) 上运行来加快代码执行。
分布式数组 使用 Parallel Computing Toolbox™ 在群集的组合内存中对大型数组进行分区。
用法说明和限制:
对于分布式数组,
fft
不使用并行 FFT 算法,而是在单个工作进程上收集向量以执行质数长度 FFT。对于质数长度较大的向量 FFT,可能导致内存不足错误。
有关详细信息,请参阅Run MATLAB Functions with Distributed Arrays (Parallel Computing Toolbox)。