python - 在python中找到勒让德多项式的根

我正在编写一个程序，通过 Legendre-Gauss 求积求解积分。 n 阶正交算法需要在某一时刻找到 n 阶勒让德多项式 Pn(x) 的根，并将它们分配给数组 Absc(对于“横坐标”)。 Pn 是在区间 [-1,1] 上具有 n 个独立实数根的 n 阶多项式。我希望能够计算根，而不仅仅是从某个库中导入它们。我能够创建一个给出多项式系数的数组，我称之为 PCoeff。为了找到我尝试过的根源

 Absc = numpy.roots(PCoeff)

这适用于大约 n = 40，但除此之外它开始失败，当它真的不应该时给出复杂的根。我也尝试使用定义多项式

P = numpy.poly1d(PCoeff)
Absc = P.r

但这会产生相同的问题，大概是因为它使用相同的 numpy 求根算法。

另一种似乎很有前途的方法是使用 scipy.optimize.fsolve(Pn, x0)，其中 x0 是我猜测的根处的 n 元素数组。问题在于，根据我的 x0 选择，此方法可能会多次给出一个特定的根来代替其他根。我试过将 x0 填充为 [-1,1] 上的等距点

x0 = numpy.zeros(n)
step = 2./(n-1)
for i in xrange(n):
  x0[i] = -1. + i*step

但是一旦我达到 n = 5， fsolve 就会重复一些根而忽略其他根。我也尝试使用 numpy.roots 的结果作为 x0。但是，在 np.roots 给出复数值的问题区域，这些会导致 fsolve 出错

TypeError: array cannot be safely cast to required type

我在网上看到有一个 scipy.optimize.roots() 例程可以工作，但它不在我电脑上的 scipy 库中。更新很麻烦，因为我没有权限在这台电脑上下载东西。

我希望能够以 64 阶的方式运行正交以获得高精度，但是这个根发现会导致失败。有任何想法吗？

最佳答案

由于 np.roots 依赖于文档所述的“查找伴随矩阵的特征值”，您可能会遇到错误传播问题，导致根上的虚部非零。也许您可以使用 np.real 函数丢弃虚部。

您可以尝试使用根的泰勒近似计算根的不同方法:

https://math.stackexchange.com/questions/12160/roots-of-legendre-polynomial

关于python - 在python中找到勒让德多项式的根，我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题：https://stackoverflow.com/questions/11794937/