c++ - 线性(超定)代数方程的解

我有一组线性代数方程，Ax = By。其中A是36x20的矩阵，x是20x1的向量，B是36x13，y是13x1。等级（A）= 20。因为系统是超定的，所以最小二乘解是可能的，即； x =（A ^ TA）^-1A ^ TBy。我想要解决方案，以便应将残留误差e = Ax-By最小化。我使用Maple进行矩阵的转置和求逆，但是对如此大的矩阵求逆需要更长的时间和RAM。我什至花了一整天时间来求矩阵逆，但由于RAM内存不足，它被打断了。这非常慢，我想枫树是无法实现的。

任何人都可以建议使用C ++这样做的方法的任何解决方案或解决方程式的任何其他方法，而不是求逆和转置。

矩阵的形成

    [ 1 0 0 ...0]
    [ 0 1 0 ...0]
    [ 0 0 1 ...0]    [LinearVelocity_x]
    [ 0 0 0 ...1]    [LinearVelocity_y]
    [ . . . ....], x=[LinearVelocity_z]
A = [ . . . ....]    [RotationalVelocity_ROLL]
    [ . . . ....]    [RotationalVelocity_PITCH]
    [ 1 0 0 ...0]    [RotationalVelocity_YAW]
    [ 0 1 0 ...0]
    [ 0 0 1 ...0]
    [ 0 0 0 ...1]

x基本上是位置（x，y，z）和方向（Roll，Pitch和Yaw）向量。
但是，B不是固定的ones和zeros的矩阵。 B是一个矩阵，其中元素的sin，cos是实时传感器数据，而不是固定数据。在maple B中，几乎是变量和固定元素的矩阵，可以说是dense sparse矩阵。同时，y是所有传感器或编码器的向量。

最佳答案

如果您的数据是浮点数，那么Maple应该会很快得到。如果A，B和y都只有数字输入，请尝试，

ans := LinearAlgebra:-LeastSquares( evalf(A), evalf(B.y) );

或者，如果您想要本身具有最少2范数的解决方案，

ans := LinearAlgebra:-LeastSquares( evalf(A), evalf(B.y), 'optimize'=true );

我的猜测是您的数据纯粹是有理数或整数，并且您可能没有意识到使用此数据会使Maple尝试找到确切的有理答案。或者您可能在数据中有一些未知的符号数量（...尽管可能会使计算最小残留问题的目标成为现实）。这样的纯粹精确数据，无论是有理数据还是符号数据，都是潜在的内存吞噬梦night，并且可能根本就不是您在考虑使用C ++作为替代方案时真正想要的。这就是为什么我包装了对evalf的调用，以将数据转换为浮点数的原因。

对于纯浮点数据，36x20最小二乘是一个小问题，而Maple应该能够在短短的一秒钟内完成。

您应该让LinearAlgebra:-LeastSquares例程进行提升，而不要自己尝试形成或使用正常方程式或进行Matrix求逆。如果您想要一种可靠的方法，请使用method=SVD选项。让它处理数字难题。