[DP][NOIP提高组]子串

题目描述

有两个仅包含小写英文字母的字符串 A 和 B。

现在要从字符串 A 中取出 k 个互不重叠的非空子串，然后把这 k 个子串按照其在字符串 A 中出现的顺序依次连接起来得到一个新的字符串。请问有多少种方案可以使得这个新串与字符串 B 相等？

注意：子串取出的位置不同也认为是不同的方案。

输入格式

第一行是三个正整数 n,m,k，分别表示字符串 A 的长度，字符串 B 的长度，以及问题描述中所提到的 k，每两个整数之间用一个空格隔开。

第二行包含一个长度为 n 的字符串，表示字符串 A。

第三行包含一个长度为 m 的字符串，表示字符串 B。

输出格式

一个整数，表示所求方案数。

由于答案可能很大，所以这里要求输出答案对 1000000007 取模的结果。

对于第 1 组数据:1≤n≤500,1≤m≤50,k=1
对于第 2 组至第 3 组数据:1≤n≤500,1≤m≤50,k=2
对于第 4 组至第 5 组数据:1≤n≤500,1≤m≤50,k=m
对于第 1 组至第 7 组数据:1≤n≤500,1≤m≤50,1≤k≤m
对于第 1 组至第 9 组数据:1≤n≤1000,1≤m≤100,1≤k≤m
对于所有 10 组数据:1≤n≤1000,1≤m≤200,1≤k≤m

题解

求什么设什么f[i][j][k]为A串到i，分成k段，匹配B串前j个的方案数，且Ai必须选的方案数，

a[i]！=b[j]时 f[i][j][k]=0

a[i]==b[j]时 上一组匹配可以是a[1-i-1]和b[j-1] 所以要用前缀和优化一波

时间复杂度O(nmk)

设f[i][j][k][0/1]表示ai不选或选也是同样的效果

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 using namespace std;
 4 const int N=1005,M=205,mod=1e9+7;
 5 int n,m,k; char a[N],b[M];
 6 int f[M][M],g[M][M];
 7 int main()
 8  {
 9  scanf("%d%d%d%s%s",&n,&m,&k,a+1,b+1);
10  g[0][0]=1;
11  for(int i=1;i<=n;i++)
12   for(int j=min(m,i);j;j--)
13    for(int p=min(k,j);p;p--)
14      {if(a[i]==b[j]) f[j][p]=(f[j-1][p]+g[j-1][p-1])%mod;
15       else           f[j][p]=0;
16       g[j][p]=(g[j][p]+f[j][p])%mod;
17      }
18  printf("%d",g[m][k]);
19
20 return 0;
21  }