P1144 最短路计数 题解 最短路应用题

题目链接：https://www.luogu.org/problem/P1144
其实这道题目是最短路的变形题，因为数据范围 \(N \le 10^6, M \le 2 \times 10^6\) ，所以直接用Dijkstra算法是不行的，可以使用 Dijkstra+堆优化 或者 SPFA算法来实现。
我这里使用 SPFA算法 来实现
这道题目因为需要计数，所以需要在dist数组基础上再开一个cnt数组，其含义如下：

• \(dist[u]\) ：起点 \(1\) 到节点 \(u\) 的最短距离；
• \(cnt[u]\) ：起点 \(1\) 到节点 \(u\) 的最短路径长度。

然后队列扩展的时候：

• 如果 \(dist[v] \gt dist[u]+1\) ，则更新 \(dist[v] = dist[u] + 1\) ，同时置 \(cnt[v] = cnt[u]\) ；
• 如果 \(dist[v] = dist[u]+1\) ，则 \(cnt[v] += cnt[u]\)

这样就可以实现最短路计数（Dijkstra同理）。

实现代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1000010;
const long long INF = (1LL<<60);
const long long MOD = 100003LL;
vector<int> g[maxn];
queue<int> que;
int n, m, x, y;
long long dist[maxn], cnt[maxn];
bool inq[maxn];
void spfa() {
    dist[1] = 0;
    for (int i = 2; i <= n; i ++) dist[i] = -1;
    cnt[1] = 1;
    que.push(1);
    while (!que.empty()) {
        int u = que.front();
        que.pop();
        inq[u] = false;
        int sz = g[u].size();
        for (int i = 0; i < sz; i ++) {
            int v = g[u][i];
            if (dist[v] == -1 || dist[v] >= dist[u] + 1) {
                if (dist[v] == -1 || dist[v] > dist[u] + 1) {
                    dist[v] = dist[u] + 1;
                    cnt[v] = cnt[u];
                }
                else {
                    cnt[v] = (cnt[v] + cnt[u]) % MOD;
                }
                if (!inq[v]) {
                    que.push(v);
                    inq[v] = true;
                }
            }
        }
    }
}
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    while (m --) {
        scanf("%d%d", &x, &y);
        g[x].push_back(y);
        g[y].push_back(x);
    }
    spfa();
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        printf("%lld\n", cnt[i]);
    return 0;
}

作者：zifeiy