内容参考书籍——《算法竞赛入门经典训练指南》
在程序中,用顶点数组表示多边形,其中各个顶点按照逆时针顺序排列。
判断点是否在多边形内。采用转角法,基本思想是计算多边形相对于判定点转了多少度,具体来说,将多边形每条边的转角加起来,如果是360°,说明在多边形内;如果是0°,说明在多边形如果是180°则在多边形边界上。该方法在处理一些弧形多边形时丝毫不受影响,只需要每一段的终点到起点的转角累加起来即可。另外这个三角形甚至可以不是简单多边形(即可以自交)。
然而,直接计算会使用大量的反三角函数,不仅速度慢且容易产生精度误差。在算法竞赛中,我们并不会这样做,而是假想有一条向右的射线,统计多边形穿过这条射线正反多少次,把这个数记为绕数wn(Winding Number),逆时针穿过时,wn加1,顺时针穿过时,wn减1。
注意程序实现时,判断是否穿过,以及穿过方向时,需要用叉积判断输入点在边的左边还是右边。
点在凸多边形内的判定更简单,只需要判断是否在所有边的左边(假设各顶点按照逆时针顺序排序)即可
凸包。
凸包就是把定点包围在内部的、面积最小的凸多边形。基于水平序的Andrew算法(比原始的Graham更快且更稳定)。首先把所有点按x从小到大排序(如果x相同,按照y从小到大排序),删除重复点后得到序列p1,p2,...,然后把p1和p2放到凸包中。从p3开始,当新点在凸包“前进”方向的左边时继续,否则依次删除最近加入凸包的点,直到新点在左边。
(待补充说明)
代码如下:
1 #include <bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 //判断该点与多边形关系 4 int isPointInPolygon(Point p, Polygon poly) 5 { 6 int wn = 0; 7 int n = v.size(); 8 for (int i = 0; i < n; ++i) 9 { 10 if (isPointOnSegment(p,poly[i], poly[(i+1)%n])) return -1; 11 int k = dcmp(Cross(poly[(i+1)%n]-poly[i]),p-poly[i]); 12 int d1 = dcmp(poly[i].y-p.y); 13 int d2 = dcmp(poly[(i+1)%n].y-p.y); 14 if (k>0 && d1<=0 && d2>0) wn++; 15 if (k<0 && d2<=0 && d1>0) wn--; 16 } 17 if (wn != 0)return 1; 18 return 0; 19 } 20 //计算凸包,输入点数组p,个数为p,输出点数组ch。函数返回凸包顶点数。 21 //输入不能有重复点。函数执行完之后输入点的顺序被破坏。 22 //如果不希望在凸包的边上有输入点,把两个<=改成< 23 //在精度要求高时建议用dcmp比较 24 int ConvexHull(Point* p, int n, Point* ch) 25 { 26 sort(p,p+n); 27 int m = 0; 28 for (int i = 0; i < n; ++i) 29 { 30 while(m>1 && Cross(ch[m-1]-ch[m-2],p[i]-ch[m-2]) <= 0) m--; 31 ch[m++] = p[i]; 32 } 33 int k = m; 34 for (int i = n-2; i >= 0; --i) 35 { 36 while(m >k && Cross(ch[m-1]-ch[m-2],p[i]-ch[m-2]) <= 0) m--; 37 ch[m++] = p[i]; 38 } 39 if (n > 1) m--; 40 return m; 41 }