我试图计算出泰勒级数，误差最大，也就是说，我的误差需要小于。我可以修改for循环中的x+=以得到不同的结果。我试了好几个数字，但从来没有变成小于0.001的错误。
#include <stdio.h>
#include <math.h>
float cosine(float x, int j)
{
float val = 1;
for (int k = j - 1; k >= 0; --k)
val = 1 - x*x/(2*k+2)/(2*k+1)*val;
return val;
}
int main( void )
{
for( double x = 0; x <= PI/4; x += 0.9999 )
{
if(cosine(x, 2) <= 0.001)
{
printf("cos(x) : %10g %10g %10g\n", x, cos(x), cosine(x, 2));
}
printf("cos(x) : %10g %10g %10g\n", x, cos(x), cosine(x, 2));
}
return 0;
}
我也在为
cos(x)做这个。对于这部分，10^-3。float exponential(int n, float x)
{
float sum = 1.0f; // initialize sum of series
for (int i = n - 1; i > 0; --i )
sum = 1 + x * sum / i;
return sum;
}
int main( void )
{
// change the number of x in for loop so you can have different range
for( float x = -2.0f; x <= 2.0f; x += 1.587 )
{
// change the frist parameter to have different n value
if(exponential(5, x) <= 0.001)
{
printf("e^x = %f\n", exponential(5, x));
}
printf("e^x = %f\n", exponential(5, x));
}
return 0;
}
但是每当我更改for循环中的项数时，它总是有一个大于1的错误。如何将其更改为错误小于
x ∈ [-pi/4, pi/4]？谢谢！
最佳答案
我的理解是，为了提高精度，你需要考虑泰勒级数中的更多项。例如，考虑当
你试图用泰勒级数来计算e（1）。
$e（x）=\sum\limits{n=0}^{\infty}frac{x^n}{n！}$
我们可以考虑e（1）展开式中的前几个项：
n value of nth term sum
0 x^0/0! = 1 1
1 x^1/1! = 1 2
2 x^2/2! = 0.5 2.5
3 x^3/3! = 0.16667 2.66667
4 x^4/4! = 0.04167 2.70834
你应该注意两件事，首先，当我们加上更多的项，我们越来越接近e（1）的精确值，而且连续和之间的差异越来越小。
因此，e（x）的实现可以写成：
#include <stdbool.h>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
typedef float (*term)(int, int);
float evalSum(int, int, int, term);
float expTerm(int, int);
int fact(int);
int mypow(int, int);
bool sgn(float);
const int maxTerm = 10; // number of terms to evaluate in series
const float epsilon = 0.001; // the accepted error
int main(void)
{
// change these values to modify the range and increment
float start = -2;
float end = 2;
float inc = 1;
for(int x = start; x <= end; x += inc)
{
float value = 0;
float prev = 0;
for(int ndx = 0; ndx < maxTerm; ndx++)
{
value = evalSum(0, ndx, x, expTerm);
float diff = fabs(value-prev);
if((sgn(value) && sgn(prev)) && (diff < epsilon))
break;
else
prev = value;
}
printf("the approximate value of exp(%d) is %f\n", x, value);
}
return 0;
}
我曾猜测，我们不需要在展开式中使用超过10个项就可以达到所需的精度，因此内部for循环是我们循环范围[0,10]内
n的值的地方。另外，我们有几条线专门用来检查我们是否达到了要求的精度。首先计算出当前评估与之前评估之间的绝对差值，并取绝对差值。检查差异是否小于我们的ε值（1E-3）是提前退出循环的标准。我还需要检查当前值和以前值的符号是否相同，因为在计算e（-1）的值时出现了一些波动，这就是条件中的第一个子句所做的。
float evalSum(int start, int end, int val, term fnct)
{
float sum = 0;
for(int n = start; n <= end; n++)
{
sum += fnct(n, val);
}
return sum;
}
这是一个实用函数，我编写它来计算一个系列的前n项。
start是起始值（此代码始终为0），而end是结束值。最后一个参数是指向函数的指针，该函数表示如何计算给定项。在这段代码中，fnct可以是指向任何接受整数参数并返回浮点值的函数的指针。float expTerm(int n, int x)
{
return (float)mypow(x,n)/(float)fact(n);
}
隐藏在这一行函数中的是大部分工作发生的地方。此函数表示e（n）的泰勒展开式的闭合形式。仔细看上面，您应该可以看到我们正在计算$\fract{x^n}{n！}$表示x和n的给定值。作为提示，对于余弦部分，需要创建一个函数来计算cos的泰勒展开式中某个项的闭式。这是由$（-1）^n\fact{x^{2n}{（2n）给出的！}$.
int fact(int n)
{
if(0 == n)
return 1; // by defination
else if(1 == n)
return 1;
else
return n*fact(n-1);
}
这只是阶乘函数的标准实现。这里没什么特别的。
int mypow(int base, int exp)
{
int result = 1;
while(exp)
{
if(exp&1) // b&1 quick check for odd power
{
result *= base;
}
exp >>=1; // exp >>= 1 quick division by 2
base *= base;
}
return result;
}
做指数运算的自定义函数。我们当然可以使用
<math.h>中的版本，但是因为我知道我们只会使用整数幂，所以我们可以编写一个优化的版本。提示：在做余弦运算时，您可能需要使用<math.h>中的版本来处理浮点基。bool sgn(float x)
{
if(x < 0) return false;
else return true;
}
一个非常简单的函数来确定浮点值的符号，否则返回true是正的，否则返回false。
这段代码是在我的Ubuntu-14.04上使用gcc版本4.8.4编译的：
******@crossbow:~/personal/projects$ gcc -std=c99 -pedantic -Wall series.c -o series
******@crossbow:~/personal/projects$ ./series
the approximate value of exp(-2) is 0.135097
the approximate value of exp(-1) is 0.367857
the approximate value of exp(0) is 1.000000
the approximate value of exp(1) is 2.718254
the approximate value of exp(2) is 7.388713
使用bc给出的预期值为：
******@crossbow:~$ bc -l
bc 1.06.95
Copyright 1991-1994, 1997, 1998, 2000, 2004, 2006 Free Software Foundation, Inc.
This is free software with ABSOLUTELY NO WARRANTY.
For details type `warranty'.
e(-2)
.13533528323661269189
e(-1)
.36787944117144232159
e(0)
1.00000000000000000000
e(1)
2.71828182845904523536
e(2)
7.38905609893065022723
如您所见，这些值完全在您所要求的公差范围内。我把它作为练习来做余弦部分。
希望能帮上忙，
-T型
关于c - 泰勒级数，错误最多10 ^ -3，我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题：https://stackoverflow.com/questions/34192937/